Successione numerica

Template:F In matematica, una successione numerica è una successione i cui termini sono solo numeri (non esiste una categoria designata di numeri, sono compresi sia i numeri naturali sia i numeri complessi). È in altre parole una funzione, definita solo sui numeri naturali ($\mathbb{N}$) oppure su un sottoinsieme di $\mathbb{N}$, per la quale è possibile calcolare il suo valore limite al divergere della variabile a $+\mathrm{\infty }$. Se il risultato di tale limite è un numero finito la successione sarà convergente, se il suo risultato è $\pm \mathrm{\infty }$ la successione sarà divergente, se il limite non esiste la successione sarà indeterminata.

Determinate successioni numeriche possono essere riassunte in una funzione generatrice che permette il calcolo di qualsiasi n-esimo termine della serie; per esempio:

$a_n=2n-1$

per $n=1,2,...$ è la formula generatrice dei numeri dispari.

Rappresentazione

Il grafico della successione numerica dei numeri dispari.

Anche le successioni possono essere rappresentate sul piano cartesiano, sull'asse delle ascisse vengono riportati i valori di n, su quella delle ordinate invece gli a_n. Il grafico è quindi costituito da una serie di punti isolati: in figura è riportato l'esempio della successione naturale dei numeri dispari: $a_n=2n-1$.

Proprietà

Le successioni numeriche possono avere andamenti molto diversi tra loro. In base al segno dei suoi termini una successione si dice:

• ovunque positiva (o positiva), se per ogni n l'immagine assume solo valori positivi, ovvero il grafico è sempre sopra l'asse delle ascisse. Matematicamente si scrive:

$a_n>0\mathrm{\forall }n$

specularmente si può definire una successione ovunque negativa

• asintoticamente (o definitivamente) positiva (negativa) quando da un certo termine in poi, n*, i successivi sono sempre positivi, ovvero il grafico da un punto in poi non scende mai sotto l'asse delle ascisse. Matematicamente si scrive:

$a_n>0\mathrm{\forall }n>n^{*}$

specularmente si può definire una successione asintoticamente negativa.

Successioni limitate

Una successione a valori reali $a_n$ si dirà:

• limitata inferiormente se esiste un numero m tale che $a_n\ge m,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$
• limitata superiormente se esiste un numero M tale che $a_n\le M,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$
• limitata se esiste un numero M tale che $|a_n|\le M,\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Una successione a valori in uno spazio metrico è limitata se tutti i suoi valori sono inclusi in una palla.

Successioni monotòne

Successioni che presentano una regolarità nell'evoluzione della serie di termini, ovvero il successivo è sempre maggiore (minore) del precedente oppure uguale, vengono dette monotòne.

Se la regolarità è presente in tutta la successione, ovvero ogni termine è sempre maggiore o minore del precedente,

$a_{n+1}>a_n\text{o}{a}_{n+1}<a_n\mathrm{\forall }n$

la successione è detta "crescente" oppure "decrescente".
Quando, invece, il termine può essere anche uguale

$a_{n+1}⩾a_n\text{o}{a}_{n+1}⩽a_n\mathrm{\forall }n$

la successione è detta "non decrescente" oppure "non crescente".

Se la successione, invece, inizia ad essere regolarmente crescente (o decrescente) soltanto da un certo termine n* in poi

$a_{n+1}>a_n\text{o}{a}_{n+1}<a_n\mathrm{\forall }n>n^{*}$

si dice che dal punto n* è definitivamente crescente o decrescente.

Esistono infine le successioni costanti,

$a_{n+1}=a_n\mathrm{\forall }n$

per cui valgono contemporaneamente la proprietà di essere non crescenti e non decrescenti; esempi possono essere le successioni:

$a_n=5\text{oppure}{a}_n=1^n$

Teorema sulle successioni monotòne

Ogni successione monotòna è regolare, cioè ammette limite. In particolare, ogni successione monotòna e limitata è convergente, cioè ammette limite finito.

Dimostrazione: Sia $a_n$ una successione crescente e limitata, con

$l=\underset{n}{\sup }\{a_n\}$. Per le note proprietà dell'estremo superiore, fissato un $\epsilon >0$ esiste un indice $v$ tale che $l-\epsilon <a_v$. Ricordando che la crescenza della successione impone

$a_n⩾a_v\mathrm{\forall }n>v$, risulta

$l-\epsilon <a_v⩽a_n⩽l<l+\epsilon$.

Cioè, per definizione di limite di una successione, risulta:

$\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{a}_n=l$