Teorema delle restrizioni

Template:F In analisi matematica, ci sono due teoremi collegati che prendono il nome di teorema delle restrizioni. Qui sono enunciate le versioni in una variabile, ma la generalizzazione a più dimensioni è immediata.

Primo teorema delle restrizioni

Sia $f:A\subseteq ℝ\to ℝ$, $x_0$ punto di accumulazione per $A$. Il primo teorema delle restrizioni afferma che se $f$ ammette limite $l$ in $x_0$:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=l$

allora per ogni sottoinsieme $B\subseteq A$ tale che $x_0$ sia punto di accumulazione anche per $B$ è:

$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}_{|B}(x)=l$

È molto utile sfruttare la negazione di questo teorema: infatti se si riesce ad individuare una restrizione di $f$ che non possegga limite, o a trovarne due distinte per cui sia $l_1\ne l_2$, dal teorema deve dedursi che $f$ stessa non possiede limite. Ad esempio, la successione $a_n=(-1{)}^n$ non possiede limite poiché $a_{2n}$ (cioè la sua restrizione sui pari) è costante a $1$, mentre
$a_{2n+1}$ (sui dispari) è costante a $-1$.

Secondo teorema delle restrizioni

Sia $f:A\subseteq ℝ\to ℝ$, $x_0$ punto di accumulazione per $A$ e siano $B_1,B_2\subseteq A$ tali che:

$B_1\cup B_2=A$

ovvero $B_1,B_2$ è un ricoprimento di $A$. Sia inoltre $x_0$ punto di accumulazione per entrambi. Il secondo teorema delle restrizioni afferma che se:

$\underset{x\to x_0}{\lim }{f}_{|B_1}(x)=\underset{x\to x_0}{\lim }{f}_{|B_2}(x)=l$

allora $f$ possiede limite in $x_0$ e tale limite è necessariamente $l$.

Voci correlate

• Limite di una funzione
• Restrizione di una funzione

Collegamenti esterni

• Template:Cita web