Segmento circolare

In geometria, un segmento circolare è una parte di cerchio delimitata da una secante (o corda). Una porzione di cerchio delimitata da due secanti parallele viene detto segmento circolare a due basi. Il segmento circolare viene anche detto segmento circolare a una base per distinguerlo da quello a due basi.

La corda o secante definisce due segmenti circolari, uno dei quali è contrassegnato in verde nell'illustrazione, mentre l'altro è in bianco.

Formula principale

La lunghezza del raggio è uguale alla somma delle due altezze: $R = h + d$ .

L'arco di circonferenza è $s = R \cdot θ$ , con $θ$ espresso in radianti.

L'area misura $A_{s g} = \frac{1}{2} R^{2} (θ - \sin θ)$ . In alternativa, senza usare funzioni trigonometriche e senza angolo $θ$ , conoscendo solo lunghezze: $A_{s g} = \frac{R (s - c) + c h}{2}$ .

Dimostrazione

L'area si ottiene come differenza tra l'area del settore circolare e del triangolo inscritto ossia: $\frac{1}{2} R^{2} θ - \frac{1}{2} (R^{2} \sin θ) = \frac{1}{2} R^{2} (θ - \sin θ)$ .

Per la corda (dal teorema della corda): $c = 2 R \sin (\frac{θ}{2})$ .

L'altezza della porzione triangolare è $d = R \cos (\frac{θ}{2})$ .

L'altezza del segmento è $h = R - d = R (1 - \cos \frac{θ}{2})$ .

Approssimazione dell'area

Poiché per $α \in [0, \frac{π}{4}]$ è possibile approssimare la funzione $\sin α$ utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor arrestato al 2° termine, ossia:

\sin α ≃ α - \frac{α^{3}}{6} .

Per $θ \in [0, \frac{π}{2}]$ la lunghezza della corda $c$ si approssima con la seguente formula:

c = 2 R \sin (\frac{θ}{2}) ≃ 2 R (\frac{θ}{2} - \frac{θ^{3}}{48}) = R θ (1 - \frac{θ^{2}}{24}) = s (1 - \frac{θ^{2}}{24}),

dunque

c ≃ s (1 - \frac{θ^{2}}{24}) .

Analogamente, noti $c$ e $s$ è possibile ricavare $θ$ e $R,$ per $θ \in (0, \frac{π}{2}]$ :

θ ≃ \sqrt{24 (1 - \frac{c}{s})}

R = \frac{s}{θ} ≃ \frac{s}{\sqrt{24 (1 - \frac{c}{s})}} .

Area in funzione dell'altezza

Calcolo dell'area del segmento in funzione dell'altezza $h$ .

L'area del settore è data da:

A_{s t} = \frac{1}{2} R^{2} θ;

θ = 2 \arccos (\frac{R - h}{R});

A_{s t} = R^{2} \arccos (1 - \frac{h}{R}) .

L'area del triangolo isoscele è data dal prodotto del segmento $R - h$ per la semicorda del settore circolare:

A_{t} = (R - h) \sqrt{R^{2} - {(R - h)}^{2}} .

L'area segmento $A_{s g}$ è data dalla differenza dell'area del settore e l'area del triangolo isoscele:

A_{s g} = A_{s t} - A_{t} = R^{2} \arccos (1 - \frac{h}{R}) - (R - h) \sqrt{R^{2} - {(R - h)}^{2}} .

L'area $A_{s g}$ è una funzione trascendente di $c$ e $h$ , quindi non può essere espressa in termini algebrici. Ma si può affermare che man mano che l'angolo al centro diventa più piccolo (o alternativamente il raggio diventa più grande), l'area $A_{s g}$ si avvicina rapidamente e asintoticamente a $\frac{2}{3} c h$ . Se $θ ≪ 1$ , allora $A_{s g} = \frac{2}{3} c h$ è sostanzialmente una buona approssimazione.

Quando l'angolo al centro si avvicina a $π$ , l'area del segmento converge all'area di un semicerchio $\frac{π R^{2}}{2}$ , quindi una buona approssimazione è: