Serie di Neumann

In matematica una serie di Neumann è una serie della forma:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^n$

dove $T$ è un operatore. Questa è una generalizzazione della serie geometrica.

La serie prende il nome del matematico Carl Gottfried Neumann, che la usò nel 1877 nel contesto della teoria del potenziale. La serie di Neumann è usata in analisi funzionale. Forma le basi per la serie di Liouville-Neumann, che serve a risolvere le equazioni integrali di Fredholm. È anche importante per lo studio dello spettro degli operatori limitati.

Proprietà

Sia $T$ un operatore limitato su uno spazio normato $X$. Se la serie di Neumann converge nella norma operatoriale, allora $Id-T$ è invertibile e la sua inversa è la somma della serie:

$(\mathrm{I}\mathrm{d}-T{)}^{-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{T}^n$

Un caso in cui la convergenza è garantita è quando $X$ è uno spazio di Banach e $||T||<1$ nella norma operatoriale. Tuttavia, ci sono risultati che danno condizioni più deboli sotto le quali la serie converge.

Un corollario è che l'insieme degli operatori invertibili tra due spazi di Banach $B$ e $B^{\prime }$ è aperto nella topologia indotta dall'operatore norma. Quindi, sia $S:B\to B^{\prime }$ un operatore invertibile e sia $T:B\to B^{\prime }$ un altro operatore. Se $|S-T|<|S^{-1}{|}^{-1}$, allora anche $T$ è invertibile. Questo segue da scrivere $T$ come:

$T=S(\mathrm{I}\mathrm{d}-(\mathrm{I}\mathrm{d}-S^{-1}T))$

e applicando il risultato della sezione precedente al secondo fattore. La norma di $T^{-1}$ può essere limitata da:

$|T^{-1}|\le \frac{1}{1-q}|S^{-1}|\text{dove}q=|S-T||S^{-1}|$

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:En Smithies, Integral equations , Cambridge University Press (1970) pp. Chapt. II
• Template:En N. Suzuki, On the convergence of Neumann series in Banach space Math. Ann. , 220 (1976) pp. 143–146
• Template:En H.W. Engl, A successive-approximation method for solving equations of the second kind with arbitrary spectral radius J. Integral Eq. , 8 (1985) pp. 239–247
• Template:En I.C. Gohberg, S. Goldberg, Basic operator theory , Birkhäuser (1981)
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Voci correlate

• Norma operatoriale
• Operatore limitato
• Operatore lineare continuo
• Serie geometrica

Collegamenti esterni

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