Matrice di Gram

Template:S Nella teoria dei sistemi e in algebra lineare la matrice di Gram (o matrice gramiana) di un insieme di vettori di uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare è la matrice i cui elementi sono i prodotti scalari tra i vettori. Questa matrice, il cui nome è legato al matematico danese Jørgen Pedersen Gram, può essere sfruttata per verificare l'indipendenza lineare dei vettori: i vettori sono linearmente indipendenti se e solo se è invertibile. Il suo determinante è noto come determinante di Gram.

Tutti gli autovalori di una matrice di Gram sono reali e non negativi e la matrice è quindi semidefinita positiva.

Esempi

Ad esempio, se $x_1,\dots ,x_n$ sono vettori in uno spazio prehilbertiano, la matrice di Gram associata è la matrice simmetrica

$G(x_1,\dots ,x_n)=\left[\begin{array}{cccc}(x_1|x_1)& (x_1|x_2)& \dots & (x_1|x_n)\\ (x_2|x_1)& (x_2|x_2)& \dots & (x_2|x_n)\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ (x_n|x_1)& (x_n|x_2)& \dots & (x_n|x_n)\end{array}\right].$

Analogamente, dato un insieme di funzioni $\{l_i(\cdot ),i=1,\dots ,n\}$ la matrice di Gram è una matrice simmetrica reale $G=[G_{ij}]$, dove

$G_{ij}=\underset{t_0}{\overset{t_f}{\int }}{l}_i(\tau )l_j(\tau )d\tau .$

Voci correlate

• Matrice gramiana di controllabilità
• Matrice gramiana di osservabilità

Collegamenti esterni

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