Scattering di Bhabha

Canale s

Nella fisica delle particelle si chiama scattering di Bhabha il processo di diffusione elastica tra elettrone e positrone:

${\mathrm{e}}^{+}{\mathrm{e}}^{-}\to {\mathrm{e}}^{+}{\mathrm{e}}^{-}.$

Deve il proprio nome al fisico indiano Homi Jehangir Bhabha, che per primo lo studiò.

Sezione d'urto

I diagrammi di Feynman che contribuiscono allo scattering di Bhabha sono due: uno di annichilazione (detto anche di canale $s$) e uno di diffusione coulombiana (detto anche di canale $t$).

Canale t

L'elemento di matrice è dato, dunque, dalla somma degli elementi di matrice dei singoli diagrammi. Applicando le regole di Feynman si arriva a calcolare la sezione d'urto differenziale nell'angolo (solido) di diffusione, in approssimazione di Born:

$\frac{\mathrm{d}\sigma }{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}=\frac{{\alpha }^2}{8E^2}(\frac{t^2+u^2}{s^2}+\frac{u^2+s^2}{t^2}+2\frac{u^2}{ts}),$

dove $\alpha$ è la costante d'accoppiamento dell'elettrodinamica quantistica, $E$ l'energia nel centro di massa e $s$, $t$, $u$ sono gli invarianti cinematici di Mandelstam. Fissando, ora, la cinematica tipica

$\{\begin{array}{c}{p}_1=(E,0,0,E)\\ p_2=(E,0,0,-E)\\ q_1=(E,0,E\sin \vartheta ,E\cos \vartheta )\\ q_2=(E,0,-E\sin \vartheta ,-E\cos \vartheta )\end{array},$

dove $p_1$ e $p_2$ ($q_1$ e $q_2$) sono rispettivamente i quadrimpulsi del positrone e dell'elettrone di stato iniziale (finale), si ottiene:

$\frac{\mathrm{d}\sigma }{\mathrm{d}\mathrm{\Omega }}=\frac{{\alpha }^2}{8E^2}(\frac{1+{\cos }^2\vartheta }{2}+\frac{1+{\cos }^4\frac{\vartheta }{2}}{{\sin }^4\frac{\vartheta }{2}}-\frac{2{\cos }^4\frac{\vartheta }{2}}{{\sin }^2\frac{\vartheta }{2}}).$

È possibile osservare che la sezione d'urto differenziale diverge per piccoli angoli di diffusione $\vartheta$. La sezione d'urto integrata, invece, mostra un tipico andamento decrescente all'aumentare dell'energia nel centro di massa.