Equazione integrale

Si chiama equazione integrale ogni equazione che ha l'incognita sotto il segno di integrale. Per esempio, l'equazione di risoluzione di un'equazione differenziale è un'equazione integrale: in generale c'è una forte relazione tra equazioni differenziali ed integrali, e alcuni problemi possono essere formulati in entrambi i modi, come ad esempio le equazioni di Maxwell.

Equazioni integrali lineari

Lo studio delle equazioni integrali si divide in due settori, relativi alle equazioni lineari e a quelle non lineari. Un'equazione integrale lineare generica nell'incognita $\phi (x)$ ha la forma:

$A(x)\phi (x)+\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }K(x,s)\phi (s)ds=f(x)x\in D$

dove $K(x,z)$ si chiama nucleo dell'equazione integrale, la funzione $A$ è detta coefficiente e $f$ il termine noto. L'insieme $\mathrm{\Omega }$ è un sottoinsieme di uno spazio euclideo. Nel caso in cui $K$ e $A$ siano matrici e $f$, $\phi$ funzioni vettoriali, allora si ha un sistema di equazioni lineari integrali. Se $f=0$ l'equazione (o sistema) si dice omogenea.

Un'equazione integrale lineare in cui un estremo dell'intervallo di integrazione è variabile viene detta equazione di Volterra:

$y(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,z)y(z)dz+f(x)$

dove $y(x)$ è la funzione incognita.

Se, invece, entrambi gli estremi dell'intervallo di integrazione sono fissi

$y(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,z)y(z)dz+f(x)$

viene chiamata equazione integrale di Fredholm.

Quando la funzione incognita si trova solo sotto il segno di integrale allora si hanno equazioni di Volterra e di Fredholm di prima specie, quelle sopra sono dette di seconda specie.

Equazioni integrali non lineari

Un'equazione di Volterra non lineare ha la forma generale:

$\phi (x)=f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)F(x,t,\phi (t))dt$

dove $F$ è una funzione nota.

Un altro esempio è l'equazione di Urysohn:

$\phi (x)=\lambda \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }K(x,s,\phi (s))dsx\in \mathrm{\Omega }$

dove $\mathrm{\Omega }$ è un sottoinsieme chiuso e limitato di uno spazio euclideo finito-dimensionale e il nucleo $K(x,s,t)$ è una funzione data definita per $x,s\in \mathrm{\Omega }$ e $t\in ℝ$.

Un caso speciale dell'equazione di Urysohn è l'equazione di Hammerstein:

$\phi (x)=\lambda \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }K(x,s)f(s,\phi (s))dsx\in \mathrm{\Omega }$

dove $f(s,t)$ e $K(x,s)$ sono funzioni date.

Soluzione numerica

Spesso le equazioni integrali non hanno una soluzione analitica, e devono essere risolte numericamente. Uno dei metodi utilizzati in tale approccio richiede di discretizzare le variabili e rimpiazzare gli integrali con sommatorie:

$\sum _{j=1}^n{w}_{j}K(s_i,t_j)u(t_j)=f(s_i)i=0,1,\cdots ,n$

Si ottiene in questo modo un sistema di n variabili ed altrettante equazioni. Risolvendolo si giunge al valore delle n variabili:

$u(t_0),u(t_1),\cdots ,u(t_n)$

Equazione di Wiener-Hopf

Equazioni integrali della forma:

$y(t)=\lambda x(t)+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}k(t-s)x(s)ds0\le t<\mathrm{\infty }$

sono utilizzate nell'ambito del trasporto radiativo, della teoria della diffrazione e per la ricerca di soluzioni nel caso di problemi planari in cui la frontiera del dominio di integrazione è liscia a tratti.

Serie di potenze come soluzione

In molti casi se il nucleo dell'equazione è della forma $K(xt)$ e la trasformata di Mellin di $K(t)$ esiste allora si può trovare la soluzione per l'equazione:

$g(s)=s\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dtK(st)f(t)$

nella forma di serie di potenze:

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{M(n+1)}{x}^n$

dove:

$g(s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{s}^{-n}M(n+1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dtK(t)t^n$

sono rispettivamente la trasformata zeta della funzione $g(s)$ e la trasformata di Mellin del nucleo integrale.

Equazioni agli autovalori

Alcune equazioni integrali si possono ottenere come generalizzazione di equazioni agli autovalori:

$\sum _j{M}_{i,j}{v}_j=\lambda v_i$

di cui si fornisce una versione continua:

$\int K(x,y)\phi (y)\mathrm{d}y=\lambda \phi (x)$

in cui il nucleo rimpiazza la matrice $M$ e l'autofunzione $\phi (y)$ prende il posto degli autovettori $v_j$.

In molti casi il nucleo può essere una distribuzione.

Bibliografia

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• Template:De Richard Courant e David Hilbert Methoden der mathematischen Physik (Band 1) (Berlin: Springer, 1924) capitolo 3

Voci correlate

• Equazione di comprimibilità
• Equazione integrale di Fredholm
• Equazione integrale di Volterra
• Vito Volterra
• Attilio Vergerio

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
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• Cornelis van der Mee Equazioni Integrali (Università degli studi di Cagliari)
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