Sistema dinamico lineare

Nell'analisi dei sistemi dinamici, un sistema dinamico lineare è un sistema dinamico la cui evoluzione è governata da un'equazione lineare, e che quindi soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti. Le equazioni differenziali che descrivono tale classe di sistemi dinamici sono particolarmente semplici, e possono essere frequentemente risolte in modo esatto.

Un sistema dinamico è un concetto astratto che si utilizza per rappresentare il comportamento di un processo fisico nello spazio e nel tempo. Viene modellizzato con una funzione $𝐙$ che, nel dominio del tempo, ad una sollecitazione ${𝐮}_{in}(t)$ fornisce una risposta ${𝐮}_{out}(t)$:

${𝐮}_{out}(t)=𝐙({𝐮}_{in}(t))$

I sistemi lineari sono soggetti al principio di sovrapposizione, ovvero un sistema è lineare se valgono le seguenti proprietà:

$𝐙({𝐮}_{i{n}_1}+{𝐮}_{i{n}_2})=𝐙({𝐮}_{i{n}_1})+𝐙({𝐮}_{i{n}_2})\mathrm{\forall }{𝐮}_{i{n}_1},{𝐮}_{i{n}_2}$

$𝐙(c{𝐮}_{in})=c𝐙({𝐮}_{in})c\in ℝ$

Una classe particolarmente importante di sistemi dinamici lineari è quella dei sistemi tempo-invarianti.

Descrizione

Un sistema dinamico è lineare quando dipende linearmente dalle variabili di stato $𝐱(t)$ e dalle variabili di ingresso $𝐮(t)$. Viene descritto dalla variazione del vettore colonna di stato $𝐱$, ambientato in uno spazio vettoriale di dimensione $n$ detto spazio delle fasi, secondo le equazioni matriciali:

$\frac{d𝐱(t)}{dt}=A(t)𝐱(t)+B(t)𝐮(t)$

$𝐲(t)=C(t)𝐱(t)+D(t)𝐮(t)$

dove $𝐲(t)$ è l'uscita o evoluzione. Lo stato $𝐱(t)$ è un vettore di dimensione $n$, l'ingresso $𝐮(t)$ ha dimensione $q$, mentre $𝐲(t)$ ha dimensione $p$; sono moltiplicati per le matrici $A$ matrice di dimensione $n\times n$, $B$ matrice di dimensione $n\times q$, $C$ matrice di dimensione $p\times n$ e $D$ matrice di dimensione $p\times q$.

Nel caso di un sistema dinamico a tempo discreto l'equazione ha la forma:

$𝐱(n+1)=A(n)𝐱(n)+B(n)𝐮(n)$

$𝐲(n)=C(n)𝐱(n)+D(n)𝐮(n)$

con $n\in \mathbb{Z}$.

Una tecnica utilizzata per studiare un problema non lineare $\dot{x}=f(x(t))$ nelle vicinanze di un punto di equilibrio è quella di approssimarlo ad un sistema lineare $\dot{z}=J_f(x_0)\cdot z(t)$ in un intorno del punto di equilibrio tramite la matrice jacobiana $J_f$ di $f$. A seconda del comportamento del sistema (a seconda del determinante di $J_f$) l'equilibrio è classificato come stabile, asintoticamente stabile o instabile.

Sistemi lineari tempo-invarianti (LTI)

Template:Vedi anche Un sistema stazionario (o tempo invariante) è un sistema i cui parametri non dipendono dal tempo. Viene descritto da un sistema di equazioni differenziali a coefficienti costanti:

$\{\begin{array}{c}\frac{d𝐱(t)}{dt}=A𝐱(t)+B𝐮(t)\\ 𝐲(t)=C𝐱(t)+D𝐮(t)\end{array}$

Si tratta di una classe di problemi particolarmente studiata e della quale sono state sviluppate molte tecniche di analisi; molte sono ad esempio basate sulla funzione di trasferimento e sul formalismo della rappresentazione spettrale dei segnali e in spazio di stato.

Scomposizione del problema differenziale

Talvolta si sceglie di rappresentare il sistema soltanto attraverso la variazione del suo stato a partire da uno stato iniziale $𝐱(t=0)$, ovvero con una relazione del tipo:

$\frac{d}{dt}𝐱(t)=F(t)\cdot 𝐱(t)$

${𝐱}_0=𝐱(0)$

Se il vettore iniziale ${𝐱}_0$ è allineato con un autovettore destro ${𝐫}_k$ di $F$, allora:

$\frac{d}{dt}𝐱(t)=F\cdot {𝐫}_k={\lambda }_k{𝐫}_k$

con ${\lambda }_k$ l'autovalore corrispondente. La soluzione è:

$𝐱(t)={𝐫}_k{e}^{{\lambda }_{k}t}$

come si verifica per sostituzione.

Se $F$ è diagonalizzabile, ogni vettore ${𝐱}_0$ in ${ℝ}^n$ può essere scritto come combinazione lineare di autovettori destro ${𝐫}_k$ e sinistro ${𝐥}_k$ di $F$:

${𝐱}_0=\sum _{k=1}^N({𝐥}_k,{𝐱}_0){𝐫}_k$

dove $(\cdot ,\cdot )$ è il prodotto scalare che fornisce i coefficienti. Dunque, la soluzione generale $𝐱(t)$ è la combinazione lineare:

$𝐱(t)=\sum _{k=1}^n({𝐥}_k\cdot {𝐱}_0){𝐫}_k{e}^{{\lambda }_{k}t}$

In due dimensioni

Dato il sistema in due dimensioni:

$\frac{d}{dt}𝐱(t)=A𝐱(t)$

il polinomio caratteristico ha la forma:

$\det (A-\lambda I)={\lambda }^2-\tau \lambda +\mathrm{\Delta }=0$

con $\tau$ la traccia e $\mathrm{\Delta }$ il determinante di $A$. Le radici ${\lambda }_n$ sono gli autovalori di $A$, ed hanno la forma:

${\lambda }_1=\frac{\tau +\sqrt{{\tau }^2-4\mathrm{\Delta }}}{2}{\lambda }_2=\frac{\tau -\sqrt{{\tau }^2-4\mathrm{\Delta }}}{2}$

Si nota che $\mathrm{\Delta }={\lambda }_1{\lambda }_2$ e $\tau ={\lambda }_1+{\lambda }_2$, sicché se $\mathrm{\Delta }<0$ gli autovalori hanno segno opposto ed il punto fisso è un punto di sella. Se invece $\mathrm{\Delta }>0$ gli autovalori hanno lo stesso segno, e quindi se $\tau >0$ sono entrambi positivi (ed il punto è instabile) mentre se $\tau <0$ sono entrambi negativi (ed il punto è stabile).

Esempio

Un circuito RC è formato da un generatore di tensione che fornisce un segnale di ingresso $V_{in}(t)$ e da un resistore $R$ in serie ad un condensatore di capacità $C$. La legge di Kirchhoff delle tensioni per la maglia è:

$R\cdot i(t)+V_{out}(t)=V_{in}(t)$

Usando la relazione caratteristica del condensatore la corrente che scorre nel circuito è:

$i(t)=C\frac{d}{dt}{V}_{out}(t)$

si ha sostituendo:

$RC\frac{d}{dt}{V}_{out}+V_{out}=V_{in}$

Si tratta di un'equazione differenziale di ordine 1 con costante di tempo $\tau =RC$.

Bibliografia

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• E. Fornasini, G. Marchesini, Appunti di Teoria dei Sistemi, Edizioni Libreria Progetto, Padova, 2003.
• A. Ruberti, S. Monaco, Teoria dei Sistemi - Appunti dalle lezioni, Pitagora Editrice, Bologna, 1998.

Voci correlate

• Controllabilità
• Controllo automatico
• Delta di Dirac
• Ergodicità
• Funzione di trasferimento
• Osservabilità
• Punto di equilibrio
• Sistema dinamico
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Sistema dinamico lineare stazionario discreto