Endomorfismo di Frobenius

Template:F In algebra astratta, l'endomorfismo di Frobenius è uno speciale omomorfismo di anelli, definito solo per anelli con caratteristica positiva. Prende il nome da Ferdinand Georg Frobenius. La sua definizione si basa su un teorema che afferma che:

Se $A$ è un anello commutativo con caratteristica $p$, con $p$ numero primo, allora $(a+b{)}^p=a^p+b^p$, per ogni $a$ e $b$ appartenenti ad $A$.

cioè che l'applicazione

$F(a)=a^p$

preserva l'operazione di somma. Dopotutto, essa soddisfa anche le proprietà $F(ab)=F(a)F(b)$ e $F(1)=1$, dunque si caratterizza come un endomorfismo di $A$ in sé ed è pertanto detta endomorfismo di Frobenius.

Dimostrazione del teorema

Per il teorema binomiale vale che

$(a+b{)}_{}^p=\sum _{k=0}^p(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})a^{p-k}{b}^k$

Ma se $0<k<p$, il coefficiente $(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{k})$ contiene il fattore $p$ e dunque in caratteristica $p$ è uguale a 0. Pertanto rimangono solo i termini finali dell'espansione, cioè $a^p$ e $b^p$.

Esempi

1. Sia $A$ un anello con caratteristica 2:

   $(3+2{)}^2=5^2=25$ e $3^2+2^2=9+4=13$

   Essendo un anello con caratteristica 2, per le proprietà dell'aritmetica modulare si ha:

   $25mod2=13mod2=1$

2. Sia $A$ un anello con caratteristica 3:

   $(4+3{)}^3=7^3=343$ e $4^3+3^3=64+27=91$

   Essendo un anello con caratteristica 3, per le proprietà dell'aritmetica modulare si ha:

   $343mod3=91mod3=1$

Collegamenti esterni

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