Numeri di Grassmann

Template:F In fisica matematica, un numero di Grassmann (chiamato numero anticommutante) è una quantità ${\theta }_i$ che anticommuta con gli altri numeri di Grassmann, ma commuta con i numeri ordinari $x_j$,

${\theta }_i{\theta }_j=-{\theta }_j{\theta }_i{\theta }_i{x}_j=x_j{\theta }_i.$

In particolare, il quadrato di un numero di Grassmann è nullo:

${\theta }_i{\theta }_i=0.$

L'algebra generata da un insieme di numeri di Grassmann è nota come algebra di Grassmann (o algebra esterna). L'algebra di Grassmann generata da $n$ numeri di Grassmann linearmente indipendenti ha dimensione $2^n$. Questi enti prendono il nome da Hermann Grassmann. Ad esempio se $n=3$, abbiamo gli elementi linearmente indipendenti:

${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$

${\theta }_1{\theta }_2,{\theta }_2{\theta }_3,{\theta }_3{\theta }_1$

${\theta }_1{\theta }_2{\theta }_3$

che insieme all'unità $1$, formano uno spazio $2^3=8$-dimensionale.

L'algebra di Grassman è l'esempio prototipo di algebre supercommutative. Queste sono algebre con una decomposizione in variabili pari e dispari che soddisfa una versione gradata della commutatività (in particolare, elementi dispari anticommutano).

Rappresentazione matriciale

I numeri di Grassmann possono sempre venire rappresentati da matrici. Consideriamo, ad esempio, l'algebra di Grassmann generata da due numeri di Grassmann ${\theta }_1$ e ${\theta }_2$. Questi numeri possono essere rappresentati da matrici $4\times 4$:

${\theta }_1=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]{\theta }_2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right]{\theta }_1{\theta }_2=-{\theta }_2{\theta }_1=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]$

In generale, una algebra di Grassmann con $n$ generatori può venire rappresentata da matrici quadrate $2^n\times 2^n$.In fisica queste matrici possono rappresentare operatori di creazione agenti sullo spazio di Fock, ovvero lo spazio formato dalla somma diretta degli spazi di Hilbert di $0,1,2,\dots ,n$ fermioni. Dal momento che il numero di occupazione per ciascun fermione è o $0$ o $1$, ci sono $2^n$ stati possibili. Matematicamente, queste matrici possono essere interpretate come operatori lineari corrispondenti alla moltiplicazione sinistra dell'algebra esterna sull'algebra di Grassmann stessa.

Applicazioni

In teoria quantistica dei campi, i numeri di Grassman sono usati per definire l'integrale sui cammini dei campi fermionici. A questo scopo è necessario definire gli integrali sulle variabili di Grassman, noti come integrali di Berezin.

I numeri di Grassman sono anche importanti nella definizione di supervarietà (o superspazio), dove vengono utilizzate come "coordinate anticommutanti".

Voci correlate

• Algebra di Grassmann
• Bereziniano
• Superspazio
• Integrale di Grassman