Compattificazione di Alexandrov

La compattificazione di Alexandrov o Alexandroff (o compattificazione a un punto) di uno spazio topologico $X$ è uno spazio compatto che estende lo spazio di partenza $X$ mediante l'aggiunta di un unico punto (solitamente indicato con $\mathrm{\infty }$). Deve il suo nome al matematico sovietico Pavel Sergeevič Aleksandrov.

Ad esempio, la compattificazione di Alexandroff della retta reale si ottiene aggiungendo un punto in modo che questo "congiunga" i due estremi della retta, che in tal modo diventa topologicamente equivalente alla circonferenza $S^1$; analogamente, la compattificazione di Alexandroff dello spazio ${ℝ}^n$ è la sfera $S^n$.

La compattificazione di Alexandroff $X^{\mathrm{\infty }}$ di uno spazio $X$ è, in un certo senso, la più piccola estensione di $X$ che è anche compatta; più precisamente, se $X$ è uno spazio di Tychonoff non compatto ma localmente compatto, allora $X^{\mathrm{\infty }}$ è l'elemento minimale dello spazio delle compattificazioni di $X$. Si contrappone quindi alla compattificazione di Stone-Čech, che è la "più grande" compattificazione di $X$.

Definizione

Sia $(X,𝒰)$ uno spazio topologico. Allora la compattificazione di Alexandroff di $(X,𝒰)$ è lo spazio $(X^{\mathrm{\infty }},{𝒰}^{\mathrm{\infty }})$, dove:

• $X^{\mathrm{\infty }}=X\cup \{\mathrm{\infty }\}$ (ove $\mathrm{\infty }$ non è un elemento di $X$);
• ${𝒰}^{\mathrm{\infty }}=𝒰\cup \{V\cup \{\mathrm{\infty }\}\mid X\setminus V\mathrm{c}\mathrm{h}\mathrm{i}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{p}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{n}X\}$.

In particolare, gli aperti di $(X^{\mathrm{\infty }},{𝒰}^{\mathrm{\infty }})$ che contengono $\mathrm{\infty }$ sono i complementari degli insiemi chiusi e compatti di $X$.

Proprietà

Inclusione

L'inclusione

$i:X\hookrightarrow X^{\mathrm{\infty }}$

è una funzione continua. Se $X$ non è compatto, l'immagine di $i$ è un insieme denso in $X^{\mathrm{\infty }}$.

Compattezza

Lo spazio $X^{\mathrm{\infty }}$ è compatto. Infatti, dato un ricoprimento aperto $ℛ$ di $X^{\mathrm{\infty }}$, esiste certamente un aperto $U\in ℛ$ del ricoprimento che contiene $\mathrm{\infty }$. Poiché $X\setminus U$ è compatto ed è ricoperto da $ℛ$, esiste un sottoricoprimento finito ${ℛ}^{\prime }$ di $X\setminus U$. Un ricoprimento finito di $X^{\mathrm{\infty }}$ è quindi dato da

${ℛ}^{\prime }\cup \{U\}.$

Connessione

Se $X$ è connesso e non compatto, allora $X^{\mathrm{\infty }}$ è connesso. Infatti se fosse unione disgiunta di due aperti, uno di questi conterrebbe $\mathrm{\infty }$ e l'altro sarebbe necessariamente compatto e chiuso. Per connessione, l'unico insieme non vuoto, aperto e chiuso in $X$ è $X$ stesso, il quale non è però compatto.

Spazio di Hausdorff

Se $X$ è di Hausdorff e localmente compatto, allora anche $X^{\mathrm{\infty }}$ è di Hausdorff, e viceversa. Infatti per ogni $x\in X$ esistono due intorni disgiunti $U$ di $x$ e $V$ di $\mathrm{\infty }$: basta prendere $U$ contenuto in un compatto $K$ contenente $x$, e $V$ il complementare di $K$.

Esempi

• La compattificazione di ${ℝ}^n$ è topologicamente equivalente alla sfera $S^n$; l'inclusione di ${ℝ}^n$ in $S^n$ può essere descritta dalla proiezione stereografica.

Bibliografia

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Voci correlate

• Topologia
• Spazi compatti
• Compattificazione
• Compattificazione di Stone-Čech
• Sfera di Riemann

Collegamenti esterni

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