Prodotto di Kronecker

In matematica, nel campo dell'algebra lineare, il prodotto di Kronecker, indicato con $\otimes$, è un'operazione tra due matrici di dimensioni arbitrarie, sempre applicabile, al contrario dell'altra più usuale moltiplicazione di matrici.

Definizione

Se $A$ è una matrice $m\times n$ e $B$ è una matrice $p\times q$, allora il loro prodotto di Kronecker $A\otimes B$ è una matrice $mp\times nq$ definita a blocchi nel modo seguente:

$A\otimes B=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}B& \cdots & a_{1n}B\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}B& \cdots & a_{mn}B\end{array}\right]$

Cioè, esplicitando ogni termine:

$A\otimes B=\left[\begin{array}{cccccccccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{11}{b}_{12}& \cdots & a_{11}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{11}& a_{1n}{b}_{12}& \cdots & a_{1n}{b}_{1q}\\ a_{11}{b}_{21}& a_{11}{b}_{22}& \cdots & a_{11}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{21}& a_{1n}{b}_{22}& \cdots & a_{1n}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{11}{b}_{p1}& a_{11}{b}_{p2}& \cdots & a_{11}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{1n}{b}_{p1}& a_{1n}{b}_{p2}& \cdots & a_{1n}{b}_{pq}\\ ⋮& ⋮& & ⋮& \ddots & & ⋮& ⋮& & ⋮\\ ⋮& ⋮& & ⋮& & \ddots & ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{m1}{b}_{11}& a_{m1}{b}_{12}& \cdots & a_{m1}{b}_{1q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{11}& a_{mn}{b}_{12}& \cdots & a_{mn}{b}_{1q}\\ a_{m1}{b}_{21}& a_{m1}{b}_{22}& \cdots & a_{m1}{b}_{2q}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{21}& a_{mn}{b}_{22}& \cdots & a_{mn}{b}_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& & & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}{b}_{p1}& a_{m1}{b}_{p2}& \cdots & a_{m1}{b}_{pq}& \cdots & \cdots & a_{mn}{b}_{p1}& a_{mn}{b}_{p2}& \cdots & a_{mn}{b}_{pq}\end{array}\right].$

Notare che questo prodotto non è un'estensione della sopra citata moltiplicazione "righe per colonne", in quanto la moltiplicazione tra una matrice $3\times 2$ e una $2\times 3$ produce una matrice $6\times 6$, e non una $3\times 3$.

Esempio

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 1\end{array}\right]\otimes \left[\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1\cdot 0& 1\cdot 3& 2\cdot 0& 2\cdot 3\\ 1\cdot 2& 1\cdot 1& 2\cdot 2& 2\cdot 1\\ 3\cdot 0& 3\cdot 3& 1\cdot 0& 1\cdot 3\\ 3\cdot 2& 3\cdot 1& 1\cdot 2& 1\cdot 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 3& 0& 6\\ 2& 1& 4& 2\\ 0& 9& 0& 3\\ 6& 3& 2& 1\end{array}\right]$

Proprietà

Bilinearità e associatività

Il prodotto di Kronecker è un caso speciale di prodotto tensoriale, dunque è bilineare e associativo:

$A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C$ (se B e C hanno la stessa dimensione)

$(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C$ (se A e B hanno la stessa dimensione)

$(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),$ (k scalare)

$(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),$

Questo prodotto non è commutativo, tuttavia $A\otimes B$ e $B\otimes A$ sono equivalenti per permutazione, cioè esistono matrici di permutazione P e Q tali che $A\otimes B=P(B\otimes A)Q$. Se A e B sono quadrate, allora sono simili per permutazione, cioè vale che P = Q^T

Prodotto misto

Se A, B, C e D sono matrici tali che esiste il prodotto righe per colonne tra A e C e tra B e D, allora esiste anche $(A\otimes B)\cdot (C\otimes D)$ e vale che

$(A\otimes B)\cdot (C\otimes D)=(A\cdot C)\otimes (B\cdot D)$.

Ne segue che $A\otimes B$ è invertibile se e solo se lo sono A e B e l'inversa è data da $(A\otimes B{)}^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.$

Spettro

Siano A e B quadrate di ordine n e q rispettivamente e siano λ₁, ..., λ_n gli autovalori di A, μ₁, ..., μ_q quelli di B. Allora gli autovalori di $A\otimes B$ sono

${\lambda }_i{\mu }_j,i=1,\dots ,n,j=1,\dots ,q.$

Ne segue che la traccia è $\mathrm{tr}(A\otimes B)=\mathrm{tr}A\cdot \mathrm{tr}B$ e che il determinante è $\det (A\otimes B)=(\det A{)}^q\cdot (\det B{)}^n$.

Valori singolari

Siano A e B matrici rettangolari con valori singolari non nulli, rispettivamente ${\sigma }_{A,i}$, i=1,..,r_A e ${\sigma }_{B,j}$, j=1,..,r_B.

Allora il prodotto $A\otimes B$ ha r_Ar_B valori singolari che sono esattamente ${\sigma }_{A,i}\cdot {\sigma }_{B,j}$, i=1,..,r_A, j=1,..,r_B.

Dal momento che il rango di una matrice è uguale al numero di valori singolari non nulli, allora è $\mathrm{rank}(A\otimes B)=\mathrm{rank}A\cdot \mathrm{rank}B$.

Relazioni col prodotto tensoriale astratto

Il prodotto di Kronecker tra matrici corrisponde al prodotto tensoriale astratto di mappe lineari. Specificatamente, se le matrici $A$ e $B$ rappresentano le trasformazioni lineari $V_1\to W_1$ e $V_2\to W_2$, allora la matrice $A\otimes B$ rappresenta il prodotto tensoriale tra la due mappe $V_1\otimes V_2\to W_1\otimes W_2$.

Applicazioni al graph matching

Se $A_1$ e $A_2$ sono le matrici di adiacenza di due grafi non pesati, allora $A=A_1\otimes A_2+\overline{A_1}\otimes \overline{A_2}$ è la matrice di adiacenza di un grafo, detto di associazione, i cui vertici corrispondono ad assegnamenti fra i vertici dei due grafi originali e le cui clique massime/massimali corrispondono a match massimi/massimali fra i due grafi originali.

Equazioni matriciali

Il prodotto di Kronecker può essere usato per la rappresentazione di alcune equazioni matriciali. Si consideri ad esempio l'equazione AXB=C, dove A,B e C sono matrici date e X è incognita. Possiamo riscrivere tale equazione come

$(B^{\mathrm{\top }}\otimes A)\mathrm{vec}X=\mathrm{vec}C$

dove se X è di ordine m×n, vec(X) denota il vettore di dimensione m×n formato dalle entrate di X scritte ordinatamente per colonna, cioè

$\mathrm{vec}X=[x_{11},x_{21},\dots ,x_{m1},x_{12},x_{22},\dots ,x_{m2},\dots ,x_{1n},x_{2n},\dots ,x_{mn}{]}^{\mathrm{\top }}.$.

Dalle proprietà enunciate finora, ne viene che l'equazione AXB=C ha un'unica soluzione se e solo se A e B sono non singolari.

Storia

Il prodotto di Kronecker prende il nome da Leopold Kronecker, ma ci sono poche prove che Kronecker sia stato il primo a definirlo e usarlo. In effetti, in passato è anche stato usato col nome di matrice di Zehfuss, da Johann Georg Zehfuss.

Collegamenti esterni

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