Superficie parametrica

Template:Nota disambigua Template:F Una parametrizzazione è un'applicazione, più nello specifico una funzione vettoriale, $τ : V \subset ℝ^{n} ⟶ ℝ^{m}$ infinitamente differenziabile in $V$ aperto e connesso. Per $n = 2$ e $m = 3$ l'immagine di questa applicazione è una superficie parametrizzata.

Una superficie parametrica è una superficie differenziabile rappresentata in un sistema di coordinate parametrico del tipo:

1) Σ : {\begin{matrix} x = ϕ (u, v) \\ y = ψ (u, v) \\ z = χ (u, v) . \end{matrix}

Una superficie si dice regolare se soddisfa le seguenti proprietà:

$ϕ (u, v), ψ (u, v), χ (u, v) \in C^{1} (A)$ , cioè devono essere funzioni continue con derivata continua in un insieme aperto $A$ (sono quindi differenziabili).
La matrice Jacobiana $\frac{\partial (ϕ, ψ, χ)}{\partial (u, v)} = [\begin{matrix} ϕ_{u} & ψ_{u} & χ_{u} \\ ϕ_{v} & ψ_{v} & χ_{v} \end{matrix}]$ , abbia rango uguale a due, cioè le derivate non si annullino mai in uno stesso punto. Questa proprietà equivale a che la somma dei quadrati dei minori di ordine due sia positiva.
La corrispondenza tra $V$ e $ℝ^{3}$ sia iniettiva.

Linee coordinate

Una superficie è un oggetto bidimensionale che vive nello spazio tridimensionale, per questo motivo i punti della superficie sono identificati da tre variabili: al variare dei punti $(u, v)$ nel dominio $A$ si trovano i punti dello spazio $(x, y, z)$ . Le variabili $u, v$ sono dette parametri coordinati.

Se sul dominio $A$ si considera un punto $t_{0}$ , con $u (t_{0}) = u_{0}, v (t_{0}) = v_{0}$ . In corrispondenza di questo punto sulla superficie vi sarà un punto:

(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (x (u_{0}, v_{0}), y (u_{0}, v_{0}), z (u_{0}, v_{0})) .

Cioè:

2) {\begin{matrix} x = ϕ (u_{0}, v_{0}) \\ y = ψ (u_{0}, v_{0}) \\ z = χ (u_{0}, v_{0}) . \end{matrix}

Pensiamo allora di ricavare le tangenti e le normali in questo punto. Fissiamo prima un valore dei parametri coordinati e poi l'altro, otterremo una famiglia di curve, che si chiamano linee coordinate (che possono essere anche ortogonali):

3) {\begin{matrix} ϕ (u, v_{0}), ψ (u, v_{0}), χ (u, v_{0}) \\ ϕ (u_{0}, v), ψ (u_{0}, v), χ (u_{0}, v) . \end{matrix}

Da queste possiamo ricavare i vettori tangenti derivando:

4) {\begin{matrix} {\vec{T}}_{u} = {ϕ_{u} (u, v_{0}), ψ_{u} (u, v_{0}), χ_{u} (u, v_{0})} \\ {\vec{T}}_{v} = {ϕ_{v} (u_{0}, v), ψ_{v} (u_{0}, v), χ_{v} (u_{0}, v)} \end{matrix}

e i vettori normali:

5) \vec{n} = \pm {\vec{T}}_{u} \times {\vec{T}}_{v} .

I versori normali sono dati:

6) \hat{n} = \pm \frac{{\vec{T}}_{u} \times {\vec{T}}_{v}}{\sqrt{({\vec{T}}_{u} \times {\vec{T}}_{v}) \cdot ({\vec{T}}_{u} \times {\vec{T}}_{v})}} .

Piano tangente

Una superficie regolare parametrica ammette sempre piano tangente in un punto $P_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ dato dalla:

7) | \begin{matrix} x - x_{0} & y - y_{0} & z - z_{0} \\ ϕ_{u} (u_{0}, v_{0}) & ψ_{u} (u_{0}, v_{0}) & χ_{u} (u_{0}, v_{0}) \\ ϕ_{v} (u_{0}, v_{0}) & ψ_{v} (u_{0}, v_{0}) & χ_{v} (u_{0}, v_{0}) \end{matrix} | = 0 .

Il piano tangente ad una superficie parametrica è un sottospazio vettoriale di dimensione 2. Questo piano, ha la proprietà di contenere i vettori tangenti a tutte le curve situate sulla superficie e passanti per il punto considerato.

L'ipotesi di regolarità della superficie parametrica, implica l'esistenza di un piano tangente in ogni punto della superficie. Si parla di piano tangente in $P$ a $S$ , altrimenti denotato con $T_{P} S$ .

Il piano tangente è indipendente dalla parametrizzazione usata.

Prima forma differenziale di Gauss

A questo punto possiamo considerare il problema di come si rappresentano le curve tracciate sulla superficie $2)$ . Per fare questo prendiamo il vettore tangente del piano $A$ , nel punto $t_{0}$ : $u^{'} (t_{0}), v^{'} (t_{0})$ . A questo vettore corrisponde un vettore tangente sulla superficie $Σ$ :

u^{'} (t_{0}) \cdot T_{u} + v^{'} (t_{0}) \cdot T_{v} .

Come si modifica la lunghezza di questo vettore sulla superficie? Costruiamo il differenziale del vettore:

8) d s^{2} = d x^{2} + d y^{2} + d z^{2} = {(\frac{\partial x}{\partial u} d u + \frac{\partial x}{\partial v} d v)}^{2} + {(\frac{\partial y}{\partial u} d u + \frac{\partial y}{\partial v} d v)}^{2} + {(\frac{\partial z}{\partial u} d u + \frac{\partial z}{\partial v} d v)}^{2} .

Ora dobbiamo eseguire i quadrati con la sostituzione: $\frac{\partial x}{\partial u} d u = ϕ_{u} (u, v) d u$ e così via per tutte le derivate, otteniamo la prima forma differenziale di Gauss:

9) d s^{2} = E d u^{2} + 2 F d u d v + G d v^{2},

dove:

$10) E = ‖ T_{u} ‖^{2} = ϕ_{u}^{2} + ψ_{u}^{2} + χ_{u}^{2},$

$10) F = ⟨ T_{u}, T_{v} ⟩ = ϕ_{u} \cdot ϕ_{v} + ψ_{u} \cdot ψ_{v} + χ_{u} \cdot χ_{v},$

$10) G = ‖ T_{v} ‖^{2} = ϕ_{v}^{2} + ψ_{v}^{2} + χ_{v}^{2} .$

Allo stesso risultato potevamo arrivare prendendo il prodotto scalare: $\vec{u} \cdot \vec{v}$ .

Si chiama prima forma fondamentale, e si indica con $I$ , la restrizione del prodotto scalare di $E^{3}$ su $T_{P} S$ . Allora la lunghezza di un segmento sulla superficie è:

11) L u n g ((x (u (t_{1}), v (t_{1})), y (u (t_{1}), v (t_{1})), z (u (t_{1}), v (t_{1}))), (x (u (t_{2}), v (t_{2})), y (u (t_{2}), v (t_{2})), z (u (t_{2}), v (t_{2})))) = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sqrt{E u'^{2} + 2 F u^{'} v^{'} + G v'^{2}} d t .

Ora ci chiediamo come si trasforma un elemento di superficie $d S$ :

$12) d S = | T_{u} \cdot d u \times T_{v} \cdot d v | = | T_{u} \times T_{v} | d u d v$

Quadrando la 12), otteniamo proprio le 10). Dunque l'elemento di superficie si trasforma:

13) d S = \sqrt{E G - F^{2}} d u d v,

dove $I_{G} = E G - F^{2}$ è la prima forma quadratica di Gauss o prima forma differenziale di Gauss.

Da questa è possibile calcolare l'area di una superficie:

A r e a (Σ) = \iint_{A} d S = \iint_{A} \sqrt{E G - F^{2}} d u d v

e anche un qualsiasi integrale di superficie:

I = \iint_{A} f (x, y, z) d S = \iint_{A} F (x (u, v), y (u, v), z (u, v)) \sqrt{E G - F^{2}} d u d v .

Da queste due ultime osservazioni circa il calcolo degli integrali, si vede che la prima forma differenziale di Gauss è un determinante:

\det (\begin{matrix} E & F \\ F & G \end{matrix}) = E G - F^{2}

e poiché i coefficienti non sono altro che i coefficienti di una metrica sulla superficie allora questa matrice è un tensore metrico.

Seconda forma differenziale di Gauss

La seconda forma quadratica è una proprietà intrinseca della superficie, e rappresenta le proprietà di curvatura della stessa. Essa può essere ricavata direttamente dalla prima forma differenziale di Gauss e dai vettori tangente e normale.

Sia dunque $\hat{n}$ il versore normale ottenibile dal vettore normale:

\vec{n} = \pm {\vec{T}}_{u} \times {\vec{T}}_{v} ⟹ \hat{n} = \pm \frac{{\vec{T}}_{u} \times {\vec{T}}_{v}}{\sqrt{({\vec{T}}_{u} \times {\vec{T}}_{v})^{2}}} .

Dalla prima forma differenziale di Gauss:

\hat{n} = \pm \frac{{\vec{T}}_{u} \times {\vec{T}}_{v}}{\sqrt{E G - F^{2}}} .

Allora i coefficienti della seconda forma differenziale di Gauss:

{\vec{T}}_{u u} \cdot \hat{n} = L

{\vec{T}}_{u v} \cdot \hat{n} = M

{\vec{T}}_{v v} \cdot \hat{n} = N

Da cui otteniamo la seconda forma differenziale (o quadratica) di Gauss:

I I_{G} = L (d u)^{2} + 2 M d u d v + N (d v)^{2} .

Dunque li possiamo esplicitare:

L = \frac{| \begin{matrix} x_{u u} & x_{u} & x_{v} \\ y_{u u} & y_{u} & y_{v} \\ z_{u u} & z_{u} & z_{v} \end{matrix} |}{\sqrt{E G - F^{2}}}

M = \frac{| \begin{matrix} x_{u v} & x_{u} & x_{v} \\ y_{u v} & y_{u} & y_{v} \\ z_{u v} & z_{u} & z_{v} \end{matrix} |}{\sqrt{E G - F^{2}}}

N = \frac{| \begin{matrix} x_{v v} & x_{u} & x_{v} \\ y_{v v} & y_{u} & y_{v} \\ z_{v v} & z_{u} & z_{v} \end{matrix} |}{\sqrt{E G - F^{2}}} .

Curvature normali

Si chiama curvatura normale della superficie $Σ$ in un punto $P$ nella direzione della linea $u$ e della linea $v$ rispettivamente, la funzione:

k (P, u) = I I_{G} (\frac{u}{‖ u ‖}, \frac{u}{‖ u ‖})

k (P, v) = I I_{G} (\frac{v}{‖ v ‖}, \frac{v}{‖ v ‖}) .

Curvature principali e curvatura di Gauss

Template:Vedi ancheSono dette curvature principali i due valori, massimo e minimo, della curvatura normale corrispondenti ai due versi del piano tangente (a seguito dei due versori normali). Indicando con $k_{1} (P), k_{2} (P)$ le curvature principali di una superficie in un punto $P$ , allora si chiama curvatura Gaussiana o curvatura totale:

K (P) = k_{1} (P) k_{2} (P)

e definiamo anche la curvatura media:

H (P) = \frac{k_{1} (P) + k_{2} (P)}{2} .

Per quanto riguarda la curvatura di Gauss, è in generale difficile trovare le due direzioni secondo le quali le curvature principali sono valori massimi e minimi. Il criterio è fornito dall'utilizzo dell'operatore di Weingarten.

Conseguenze

Dalle forme differenziali di Gauss possiamo ricavare molte informazioni riguardo alle caratteristiche geometriche delle superfici parametriche:

La curvatura delle curve sulla superficie segue dal teorema di Meusnier e dall'operatore di Weingarten.
La curvatura della superficie segue dal theorema egregium di Gauss.
Teorema di Dupin.

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Linee coordinate

Piano tangente

Prima forma differenziale di Gauss

Seconda forma differenziale di Gauss

Curvature normali

Curvature principali e curvatura di Gauss

Conseguenze

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