Sistema autonomo (matematica)

In matematica, un sistema autonomo o equazione differenziale autonoma è un sistema di equazioni differenziali ordinarie che non dipendono esplicitamente dalla variabile indipendente. Sono utilizzati nello studio dei sistemi dinamici, dove la variabile indipendente è il tempo.

Definizione

Un'equazione autonoma è un'equazione differenziale ordinaria del tipo:

$y^{\prime }(t)=f(y(t))$

dove $f$ è una funzione continua con derivata prima continua in tutto un intervallo $I\subset ℝ$, e che non dipende dalla variabile indipendente $t$. Se $y$ è un vettore di ${ℝ}^n$ si ha un sistema autonomo, ovvero un sistema di equazioni differenziali ordinarie autonome:

$y{\text{'}}_i=f_i(y_1,y_2,\dots ,y_n)i=1,\dots ,n$

Di particolare importanza sono i punti $x_0$ tali per cui $f(x_0)=0$, detti punti di equilibrio, ai quali corrisponde la soluzione costante $y=x_0$.

Un generico sistema di equazioni differenziali ordinarie (in cui $f$ dipende da $t$):

$\frac{d}{dt}y(t)=f(y(t),t)$

può essere reso autonomo introducendo una nuova incognita $y_{n+1}=t$.

Proprietà

Sia $x_1(t)$ l'unica soluzione del problema ai valori iniziali per il sistema autonomo:

$\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t))x(0)=x_0$

Allora $x_2(t)=x_1(t-t_0)$ è soluzione di:

$\frac{d}{dt}x(t)=f(x(t))x(t_0)=x_0$

Infatti, ponendo $s=t-t_0$ si ha $x_1(s)=x_2(t)$ e $ds=dt$, sicché:

$\frac{d}{dt}{x}_2(t)=\frac{d}{dt}{x}_1(t-t_0)=\frac{d}{ds}{x}_1(s)=f(x_1(s))=f(x_2(t))$

e la condizione iniziale è verificata:

$x_2(t_0)=x_1(t_0-t_0)=x_1(0)=x_0$

Inoltre, se $f(x_0)=0$ allora la funzione costante $x(t)=x_0$ è una soluzione (come si verifica sostituendola nell'equazione, osservando che la sua derivata è nulla) che soddisfa la condizione iniziale $x(0)=x_0$. In particolare, un vettore $x_0\in I$ tale che $x(t=t_0)=x_0$ è un punto di equilibrio per il sistema se e solo se $f(x_0)=0$.

Soluzioni

La soluzione formale di un sistema del primo ordine si ottiene scrivendo:

$\frac{dy}{dt}=f(y)$

da cui:

$\frac{dy}{f(y)}=dt$

Integrando si ottiene la soluzione generale:

$\int \frac{1}{f(y)}dy=\int dt=t+k$

dove $k$ è una costante dipendente dalle condizioni iniziali. Più precisamente, grazie al fatto che l'integrale precedente è una funzione invertibile, si mostra che se $f$ è definita su $I$ e $x_0\in I$ allora esistono un intorno di $x_0$ ed un intorno di $t_0\in ℝ$ tali per cui esiste almeno una soluzione $x$ di $x^{\prime }=f(x)$ tale che $x(t_0)=x_0$. Considerando pertanto il problema di Cauchy abbinato all'equazione autonoma $y(t_0)=y_0$, se $f(y_0)=0$ allora la soluzione è costante ($y(t)=y_0$) mentre se $f(y_0)\ne 0$ la soluzione è data dall'integrale:

$\underset{y_0}{\overset{y}{\int }}\frac{1}{f(z)}dz=\underset{t_0}{\overset{t}{\int }}d\tau$

A partire dalle soluzioni si possono ricavare proprietà generali per l'equazione autonoma: se la funzione $f(y)$ ha segno costante allora anche la derivata $y^{\prime }$ ha segno costante, cioè mantiene la monotonia. Ad esempio, Si consideri:

$y^{\prime }(t)=aya\ne 0$

Questa equazione ha una soluzione costante $y=0$. Le altre soluzioni sono crescenti se $a{t}_0>0$ e decrescenti se $a{t}_0<0$ e non si hanno punti di flesso. Un altro esempio semplice è l'equazione logistica.

Secondo ordine

Per un'equazione autonoma del secondo ordine:

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=f(x,x^{\prime })$

si introduce la variabile:

$v=\frac{dx}{dt}$

e si esprime la derivata seconda di $x$, sfruttando la regola della catena, come:

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=v\frac{dv}{dx}$

In questo modo l'equazione originale diventa:

$v\frac{dv}{dx}=f(x,v)$

che è un'equazione del primo ordine che non dipende esplicitamente da $t$. Risolvendola si ottiene $v$ in funzione di $x$, e dalla definizione di $v$ si ha:

$\frac{dx}{dt}=v(x)$

da cui:

$t+C=\int \frac{dx}{v(x)}$

che è la soluzione implicita.

Soluzioni periodiche

Template:Vedi anche Si consideri un sistema autonomo di due variabili con relativo problema di Cauchy:

$\{\begin{array}{c}{x}^{\prime }=f(x,y)\\ y^{\prime }=g(x,y)\end{array}$

Per stabilire se il sistema abbia soluzioni periodiche vale il criterio di Bendixon, il quale afferma che se il sistema ammette una soluzione periodica allora la divergenza del campo vettoriale:

$\overrightarrow{F}=\{f(x,y),g(x,y)\}$

non ha segno costante (anche se può essere nulla).

Dimostrazione

La soluzione del sistema autonomo è una curva $C:x=\varphi (t),y=\psi (t)$. Applicando il teorema della divergenza:

$\underset{C}{\int }\overrightarrow{F}\cdot \overrightarrow{n}ds=\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }div(\overrightarrow{F})dxdy$

dove $\overrightarrow{n}$ è il versore normale dato da:

$\overrightarrow{n}=\frac{\{g,-f\}}{\sqrt{{\varphi }^{\prime }(t{)}^2+{\psi }^{\prime }(t{)}^2}}$

Quindi l'integrale diventa:

$\underset{0}{\overset{T}{\int }}(fg-gf)dt=0$

dove $[0,T]$ è il periodo della soluzione periodica. Questo significa che la divergenza assume:

$\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }div(\overrightarrow{F})dxdy=0$

e quindi non può essere sempre positiva o sempre negativa, altrimenti non si potrebbe annullare.

Bibliografia

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• Template:En S.E. Cappell, J.L. Shaneson, Non-linear similarity Ann. of Math. , 113 (1981)
• Template:En N.H. Kuiper, The topology of the solutions of a linear differential equation on , Proc. Internat. Congress on Manifolds (Tokyo, 1973)
• Template:En N.H. Kuiper, J.W. Robbin, Topological classification of linear endomorphisms Inv. Math. , 19 (1973)

Voci correlate

• Equazione differenziale
• Equazione differenziale ordinaria
• Problema di Cauchy
• Sistema dinamico
• Sistema tempo-invariante
• Teorema di Bendixson-Dulac

Collegamenti esterni

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