Rotazione (matematica)

Una sfera che ruota intorno a un asse

In matematica, e in particolare in geometria, una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso almeno un punto, nel caso del piano, o una retta, nel caso dello spazio. I punti che restano fissi nella trasformazione formano più in generale un sottospazio: quando questo insieme è un punto o una retta, si chiama rispettivamente il centro e lTemplate:'asse della rotazione.

Più precisamente, una rotazione è una isometria di uno spazio euclideo che ne preserva l'orientazione, ed è descritta da una matrice ortogonale speciale.

Qualunque sia il numero delle dimensioni dello spazio di rotazione, gli elementi della rotazione sono:

1. il verso (orario-antiorario);
2. l'ampiezza dell'angolo di rotazione;
3. il centro di rotazione (il punto attorno a cui avviene il movimento rotatorio).

Due dimensioni

Rotazione antioraria nel piano

Template:Vedi anche In due dimensioni, una rotazione è una trasformazione $R(\theta )$, la quale supposta antioraria dipende da un angolo $\theta$, e che trasforma il vettore $(x;y)$ in

$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x\cos \theta -y\sin \theta ,\\ y^{\prime }& =x\sin \theta +y\cos \theta .\end{array}$

Usando la moltiplicazione di matrici la rotazione antioraria può essere descritta così:

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right].$

La matrice quadrata presente in questa espressione è una matrice ortogonale speciale di rango $2$. Questa trasformazione è chiamata rotazione antioraria di angolo $\theta$ intorno all'origine.

La matrice $2\times 2$ che descrive la rotazione è spesso chiamata matrice di rotazione di angolo $\theta$.

Dimostrazione

Le formule di rotazione possono essere ottenute ragionando nel modo seguente. Sia $P(x;y)$ un punto qualsiasi e siano $\rho$ e $\alpha$ le sue coordinate polari. Si ha

$\begin{array}{cc}x& =\rho \cos \alpha \\ y& =\rho \sin \alpha \end{array}$

il punto $P^{\prime }(x^{\prime };y^{\prime })$, immagine di $P$ in una rotazione antioraria di un angolo $\theta$, ha coordinate polari $(\rho ;\alpha +\theta )$. Le sue coordinate cartesiane sono perciò date dal sistema precedente, ove si ponga $\alpha +\theta$ al posto di $\alpha$:

$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =\rho \cos (\alpha +\theta )\\ y^{\prime }& =\rho \sin (\alpha +\theta ).\end{array}$

applicando le formule di addizione di seno e coseno e tenendo conto anche delle formule iniziali, si ottengono le formule di rotazione, infatti:

$\begin{array}{cccc}{x}^{\prime }& =\rho \cos (\alpha +\theta )& =\rho (\cos \alpha \cos \theta -\sin \alpha \sin \theta )& =x\cos \theta -y\sin \theta ,\\ y^{\prime }& =\rho \sin (\alpha +\theta )& =\rho (\sin \alpha \cos \theta +\cos \alpha \sin \theta )& =x\sin \theta +y\cos \theta .\end{array}$

Nel piano complesso

Una rotazione si esprime in modo più conciso interpretando il piano come piano complesso: una rotazione equivale al prodotto per un numero complesso di modulo unitario.

In questo modo, ad esempio, la rotazione di angolo $\theta$, con centro nell'origine, si scrive come

$\begin{array}{ccccc}\rho :& ℂ& \to & ℂ,& \\ & z& \mapsto & z^{\prime }& =e^{i\theta }z.\end{array}$

L'insieme dei numeri complessi con modulo unitario è algebricamente chiuso rispetto al prodotto, formando così un gruppo abeliano, chiamato il gruppo circolare: l'interpretazione complessa delle rotazioni del piano può essere allora espressa come il fatto che il gruppo circolare e il gruppo ortogonale speciale $\mathrm{S}\mathrm{O}(2)$ sono isomorfi.

Tre dimensioni

Rotazione in un sistema tridimensionale

In tre dimensioni, una rotazione è determinata da un asse, dato da una retta $r$ passante per l'origine, e da un angolo $\theta$ di rotazione. Per evitare ambiguità, si fissa una direzione dell'asse, e si considera la rotazione di angolo $\theta$ effettuata in senso antiorario rispetto all'asse orientato. La rotazione è descritta nel modo più sintetico scrivendo i vettori dello spazio in coordinate rispetto ad una base ortonormale $v_1,v_2,v_3$, dove $v_1$ è il vettore di lunghezza uno contenuto in $r$ e avente direzione giusta. La rotazione intorno all'asse $x$ trasforma il vettore di coordinate $(x,y,z)$ in:

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right].$

Una rotazione generale in 3 dimensioni può essere espressa come una composizione di 3 rotazioni intorno a tre assi indipendenti, come ad esempio gli assi $x,y,z$. Quindi dati tre angoli $\alpha ,\beta ,\gamma$, che indicano rispettivamente di quanto si deve ruotare intorno a ognuno degli assi, la matrice di rotazione risulta:

$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}\cos \beta & 0& \sin \beta \\ 0& 1& 0\\ -\sin \beta & 0& \cos \beta \end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}\cos \gamma & -\sin \gamma & 0\\ \sin \gamma & \cos \gamma & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Senza cambiare base, la rotazione di un angolo $\theta$ intorno ad un asse determinato dal versore $(x,y,z)$ (ossia un vettore di modulo unitario) è descritta dalla matrice seguente:

$\left[\begin{array}{ccc}{x}^2+(1-x^2)\cos \theta & xy(1-\cos \theta )-z\sin \theta & xz(1-\cos \theta )+y\sin \theta \\ xy(1-\cos \theta )+z\sin \theta & y^2+(1-y^2)\cos \theta & yz(1-\cos \theta )-x\sin \theta \\ xz(1-\cos \theta )-y\sin \theta & yz(1-\cos \theta )+x\sin \theta & z^2+(1-z^2)\cos \theta \end{array}\right].$

Ponendo $(x,y,z)=(1,0,0)$ oppure $(x,y,z)=(0,1,0)$ oppure $(x,y,z)=(0,0,1)$ si ottiene rispettivamente la rotazione attorno all'asse $x,$ all'asse $y$ e all'asse $z.$

Tale matrice è stata ottenuta scrivendo la matrice associata alla trasformazione lineare (rispetto alle basi canoniche nel dominio e codominio) della formula di Rodrigues.

In molte applicazioni risulta conveniente usare l'algebra dei quaternioni per effettuare rotazioni nello spazio tridimensionale.

Dimensione arbitraria

In uno spazio euclideo di dimensione arbitraria, una rotazione è una trasformazione lineare dello spazio in sé che è anche una isometria, e che mantiene l'orientazione dello spazio. Le matrici $n\times n$ che realizzano queste trasformazioni sono le matrici ortogonali speciali.

Voci correlate

• Angoli di Eulero
• Asse angolo
• Rotazioni spaziali con i quaternioni
• Matrice di rotazione
• Formula di Rodrigues
• Isometria
• Matrice ortogonale
• Spinore
• Omotetia
• Traslazione (geometria)
• Riflessione (geometria)

Collegamenti esterni

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