Legge di Stefan-Boltzmann

Template:NN La legge di Stefan-Boltzmann, chiamata anche legge di Boltzmann o legge di Stefan, dai due fisici austriaci Ludwig Boltzmann e Josef Stefan, è una equazione di stato per la radiazione elettromagnetica che stabilisce che l'emittanza di un corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura assoluta (espressa in kelvin):

$u=\sigma \cdot T^4$

dove:

• $u$ è l'emittanza termica o energia interna specifica della radiazione,
• $T$ la temperatura assoluta
• $\sigma$ è la costante di Stefan-Boltzmann.

La legge, in questo enunciato, è valida solo per corpi neri ideali.

La legge fu scoperta sperimentalmente da Stefan nel 1879 e spiegata teoricamente per la prima volta da Boltzmann nel 1884. Nella trattazione contemporanea è ricondotta alla legge di Planck, di cui costituisce un integrale. Questo legame permette di ricondurre la costante di Stefan-Boltzmann alle costanti fisiche fondamentali:

$\sigma =\frac{{\pi }^2{k}^4}{60{\hslash }^3{c}^2}=5,67\cdot 10^{-8}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}{\mathrm{K}}^{\mathrm{-}\mathrm{4}}$.

Per la dimostrazione e la spiegazione dei termini si rimanda al paragrafo derivazione quantistica.

Derivazione termodinamica

La legge può essere dedotta a partire da considerazioni di natura termodinamica, senza poter accedere però ad alcuna informazione per il valore della costante di Stefan-Boltzmann. Sono note le relazioni:

$u=\frac{4}{c}q$ e $p=\frac{1}{3}u$

dove:

• $u$ è la densità di energia
• $c$ la velocità della luce
• $q$ l'emittanza di irraggiamento
• $p$ la pressione di radiazione

Quindi dalla relazione fondamentale dell'energia interna si ha, integrando sul volume a temperatura costante:

$\mathrm{d}U=T\mathrm{d}S-p\mathrm{d}V$

${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_T-p{\left(\frac{\partial V}{\partial V}\right)}_T$

per le relazioni di Maxwell ciò equivale a:

${\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)}_T=T{\left(\frac{\partial p}{\partial T}\right)}_V-p$

$u=\frac{1}{3}T\frac{\partial u}{\partial T}-\frac{1}{3}u$

dove nell'ultima equazione si sono sostituite le relazioni note all'inizio. Integrando l'equazione differenziale si ottiene:

$u=\sigma T^4$

essendo $\sigma$ una costante d'integrazione, incorporata a quattro volte l'inverso di $c$ nel valore di sigma, che veniva ricavata sperimentalmente.

Relazione fondamentale

La continuità, differenziabilità e monotonicità dell’entropia implicano che la funzione di stato energia interna:

$U=U(S,V)$

può essere invertita rispetto all'entropia:

$S=S(U,V)$

La funzione entropia così ottenuta è continua e differenziabile nei suoi argomenti. Questa relazione è nota come relazione fondamentale: nota questa, tutta l'informazione termodinamica sul sistema è nota e qualunque proprietà termodinamica è da essa deducibile. La forma differenziale della relazione fondamentale è chiamata equazione di Gibbs.

Dal primo principio della termodinamica + secondo principio per sistemi in equilibrio termodinamico segue l'equazione di Gibbs:

$dS=\frac{1}{T}dU+\frac{p}{T}dV$

In generale per le variabili di stato (coordinate generalizzate):$𝐱=\{x_i\}$ l'equazione di Gibbs è:

$dS=\mathrm{\nabla }S\cdot 𝐱=𝐅\cdot d𝐱=\sum _i{F}_{i}d{x}_i$

dove le forze generalizzate sono:

$F_i=\frac{\partial S}{\partial x_i}$

mentre le relazioni $F_i=F_i(\{x_j\})$ sono le equazioni di stato del sistema. Nel caso di cui sopra le forze generalizzate sono:

$F_U={\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)}_{V,\{N_i\}}=\frac{1}{T}$

$F_V={\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_{U,\{N_i\}}=\frac{p}{T}$

Talvolta conviene considerare invece i momenti coniugati $𝐩=\{p_i\}$ definiti da:

$p_i=\frac{F_i}{T}$

La relazione fondamentale della radiazione elettromagnetica, che ne caratterizza completamente le proprietà termodinamiche, è:

$S=\frac{4}{3}{\sigma }^{\frac{1}{4}}{U}^{\frac{3}{4}}{V}^{\frac{1}{4}}$

dove la costante è solo: σ

Per esso:

${\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)}_V={\sigma }^{\frac{1}{4}}{U}^{\frac{1}{4}}{V}^{-\frac{1}{4}}$

${\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)}_U=\frac{1}{3}{\sigma }^{\frac{1}{4}}{U}^{\frac{3}{4}}{V}^{-\frac{3}{4}}$

ma siccome queste sono le forze generalizzate viste sopra, si ha che:

$\frac{1}{T}={\sigma }^{\frac{1}{4}}{U}^{\frac{1}{4}}{V}^{-\frac{1}{4}}$

$\frac{p}{T}=\frac{1}{3}{\sigma }^{\frac{1}{4}}{U}^{\frac{3}{4}}{V}^{-\frac{3}{4}}$

Queste sono le due equazioni di stato per la radiazione elettromagnetica. La prima relazione è la legge di Stefan-Boltzmann:

$U(T,V)=\sigma V{T}^4$

ovvero per l'energia interna volumetrica della radiazione vale:

$u(T)=\frac{U}{V}=\sigma T^4$

quindi il calore specifico isocoro della radiazione è:

$c_v(T)=\frac{\partial u}{\partial T}=4\sigma T^3$

mentre la seconda equazione di stato è la relazione della pressione di radiazione:

$p=\frac{1}{3}{\sigma }^{\frac{1}{4}}{U}^{\frac{3}{4}}{V}^{-\frac{3}{4}}T=\frac{1}{3}\frac{U}{V}=\frac{1}{3}u$

Derivazione quantistica

Ogni corpo a una qualsiasi temperatura emette radiazione elettromagnetica; la quantità e la qualità di radiazione emessa dipende dalla temperatura del corpo e secondariamente dalle sue caratteristiche:

$q=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}I(\nu )d\nu =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}I(\lambda )d\lambda$

dove:

• $\nu$ è la frequenza della radiazione elettromagnetica;
• $h$ è la costante di Planck,
• $T$ è la temperatura assoluta,
• $I(\nu )d\nu$ è la densità di energia della radiazione elettromagnetica compresa tra $\nu$ e $\nu +d\nu$.

Quest'ultima distribuzione dell'energia in funzione delle frequenze non era stata ancora scoperta, solo successivamente Rayleigh e Jeans e più tardi Planck la dedussero quantitativamente. Segue la legge di Planck per la radianza spettrale:

$I(T)=\frac{2\pi h{c}^2}{{\lambda }^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}}-1}$

dove:

• $h$ è la costante di Planck
• $k$ è la costante di Boltzmann
• $c$ è la velocità della luce nel vuoto
• $T$ è la temperatura assoluta
• $\lambda$ è la lunghezza d'onda
• $e$ è il numero di Eulero

viene integrata su tutto il dominio di lunghezza d'onda:

$q=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}I(T)\mathrm{d}\lambda =2\pi h{c}^2\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{{\lambda }^5(e^{\frac{hc}{\lambda k_{B}T}}-1)}\mathrm{d}\lambda =\frac{2\pi k^4{T}^4}{c^2{h}^3}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{6}{n^4}=\frac{2{\pi }^5{k}^4}{15c^2{h}^3}{T}^4=\frac{{\pi }^2{k}^4}{60{\hslash }^3{c}^2}{T}^4$

si ottiene che la costante di Stefan-Boltzmann definita classicamente si può riesprimere come:

$\sigma =\frac{{\pi }^2{k}^4}{60{\hslash }^3{c}^2}=5,67\cdot 10^{-8}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{\mathrm{-}\mathrm{2}}{\mathrm{K}}^{\mathrm{-}\mathrm{4}}$.

Corpo radiante reale

Ovviamente il "corpo nero" è un'idealizzazione e i corpi, anche i più neri, non lo sono mai completamente. Per essere più precisi in fisica per corpo nero si intende un corpo che assorbe tutta la radiazione elettromagnetica incidente; al contrario un corpo di un certo colore (diverso da nero) non lo è perché riflette parte della luce che lo colpisce. I "corpi bianchi" infatti riflettono buona parte della radiazione che li colpisce ma ne assorbono sempre una parte. Le caratteristiche di un corpo in emissione sono duali delle caratteristiche in assorbimento: un corpo nero, assorbitore ideale, è anche emettitore ideale. Nell'applicazione a corpi reali della legge di Stefan-Boltzmann si moltiplica la costante σ per l'emissività ε, che dipende dalla superficie del corpo preso in considerazione oltre che dalla sua temperatura ed è compresa fra 0 (per i corpi idealmente bianchi) e 1 (per i corpi idealmente neri). Per cui per i corpi reali (chiamati anche "corpi grigi") si ha:

$\mathrm{u}=\epsilon \sigma T^4$

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Nino Zanghi, Appunti di meccanica statistica, Dipartimento di Fisica dell'Università di Genova, Esempio 2.2 (Relazione fondamentale della radiazione elettromagnetica)

Voci correlate

• Equazione di stato
• Costante di Stefan-Boltzmann
• Legge di Wien
• Legge di Rayleigh-Jeans
• Legge di Planck
• Corpo nero
• Eccitanza
• Legge di Prevost

Collegamenti esterni

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