Disequazione trigonometrica

In matematica, le disequazioni trigonometriche o goniometriche sono disequazioni del tipo $f(x)<g(x)$ oppure $f(x)>g(x)$ in cui almeno una delle funzioni $f(x)$ e $g(x)$ contenga l'incognita come argomento di una funzione trigonometrica (come ad esempio il seno, il coseno, la tangente, l'arcotangente, ecc.).

Non è una disequazione trigonometrica ad esempio $6x^2-7x+\sin \left(\frac{\pi }{8}\right)>0,$ dal momento che l'argomento del seno è una costante.

Esempio

Un esempio di disequazione trigonometrica è:

$\sin x-\frac{1}{2}>0.$

Questa disequazione, molto elementare, si risolve facilmente sulla circonferenza goniometrica, cercando tutti i valori del seno maggiori di $\frac{1}{2}$, e cioè:

$\frac{\pi }{6}+2k\pi <x<\frac{5\pi }{6}+2k\pi ,$ con $k\in \mathbb{Z}.$

Metodi di risoluzione

I metodi risolutivi per una disequazione goniometrica dipendono dal tipo di disequazione; dato che le equazioni goniometriche possono essere elementari, lineari, omogenee, etc, così lo sono anche le disequazioni: se la disequazione è di tipo elementare (come nell'esempio sopra) può essere risolta con il metodo grafico utilizzando la circonferenza goniometrica; se è lineare, vengono usate le formule parametriche di seno e coseno, che consentono di esprimere entrambe queste due funzioni in dipendenza dalla tangente dell'angolo dimezzato, o il metodo di sostituzione; se sono omogenee si può ricorrere alla relazione fondamentale della trigonometria, cioè ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1.$ Naturalmente essa è utile in caso in cui la funzione trigonometrica abbia una potenza di ordine pari.

Si possono anche usare, a seconda dei casi e della convenienza, le formule di bisezione, di duplicazione, le formule di Werner e le formule di prostaferesi.

Esempio

Si risolva la disequazione:

${\sin }^{2}x-\cos x-1<0.$

Basta porre ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x,$ e la disequazione da risolvere diventa ${\cos }^{2}x+\cos x>0,$ che si risolve normalmente ponendo ad esempio $\cos x=y.$ Bisogna quindi trovare le soluzioni di $y^2+y>0,$ che è risolta per $y<-1\vee y>0.$ Per concludere basta riportare al posto della $y$ il coseno di $x,$ il che diventa:

$\cos x<-1\vee \cos x>0.$

Tenendo conto del fatto che il coseno è una funzione limitata tra $-1$ e $1$ e quindi $\cos x<-1$ non ha soluzioni, le soluzioni sono $-\frac{\pi }{2}+2k\pi <x<\frac{\pi }{2}+2k\pi ,$ con $k\in \mathbb{Z}.$

Bibliografia

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Voci correlate

• Disequazione
• Trigonometria
• Equazione trigonometrica
• Equazione