Scattering di Mie

Lo scattering di Mie, noto anche come scattering di Lorenz-Mie, è una soluzione completa e matematicamente rigorosa del problema dello scattering di un'onda elettromagnetica su di una sfera o su di un cilindro. La teoria che descrive questo tipo di scattering prende il nome dal fisico tedesco Gustav Mie che nel 1908 pubblicò per primo la soluzione completa. Oltre a Mie, anche altri ricercatori pubblicarono quasi contemporaneamente ulteriori sviluppi e diverse, equivalenti formulazioni: principalmente vanno ricordati i contributi di Peter Debye e Ludvig Lorenz.

Lo scattering di Mie è valido per centri diffusori di ogni dimensione e, nel limite in cui questi siano molto più piccoli della lunghezza d'onda incidente, si riottiene lo Scattering di Rayleigh (che è valido solo per diffusori puntiformi). Per questo motivo lo scattering di Mie trova applicazione sia nello studio ottico dei colloidi sia in meteorologia; infatti le gocce d'acqua che compongono le nubi hanno spesso dimensioni maggiori (o anche molto maggiori) della lunghezza d'onda della luce visibile.

L'equazione vettoriale e l'equazione scalare

Lo scattering di Mie è un problema vettoriale, ovvero implica l'uso di tutte le componenti dei campi elettrici (E) e magnetici (H) al fine di tener debitamente conto delle proprietà di polarizzazione della radiazione. In un mezzo di propagazione quale è, ad esempio, l'aria o il "vuoto", dielettrico, trasparente, omogeneo e isotropo, non dissipativo e non dispersivo, in cui sono presenti delle sferette, ossia dei centri diffusori, l'onda incidente, che può essere pensata nella forma di una onda piana, è costituita da campi elettrici e magnetici che soddisfano la seguente equazione delle onde

${\mathrm{\nabla }}^2𝐄+n^2{k}^2𝐄=0$

${\mathrm{\nabla }}^2𝐇+n^2{k}^2𝐇=0$

dove k è il vettore d'onda e n l'indice di rifrazione. Se definiamo il vettore $𝐌=\mathrm{\nabla }\times (𝐫\psi )$, dove $\psi$ è un'arbitraria funzione scalare e r un vettore di posizione (nel nostro caso indica la coordinata radiale), è possibile dimostrare che questo soddisfa l'equazione

${\mathrm{\nabla }}^2𝐌+n^2{k}^2𝐌=\mathrm{\nabla }\times ({\mathrm{\nabla }}^2\psi +n^2{k}^2\psi )$

ovvero che M soddisfa l'equazione d'onda vettoriale non appena ${\mathrm{\nabla }}^2\psi +n^2{k}^2\psi =0$ ovvero quando $\psi$ soddisfa l'equazione d'onda scalare. Della stessa proprietà gode il vettore N che possiamo definire tramite $nk𝐍=\mathrm{\nabla }\times 𝐌$.

Risolvendo l'equazione delle onde scalare con le opportune condizioni al contorno, è quindi possibile ricavare due campi che soddisfano le equazioni d'onda vettoriali. In particolare, chiamando u e v due soluzioni indipendenti dell'equazione scalare che danno luogo ai campi M_u, N_u, M_v, N_v, si possono identificare i campi elettrico e magnetico tramite

$𝐄={𝐌}_v+i{𝐍}_u$

$𝐇=m(-{𝐌}_u+i{𝐍}_v)$.

dove "i" indica l'unità immaginaria.

È quindi possibile ottenere il campo elettrico e magnetico in funzione dei campi ausiliari introdotti prima quali opportune soluzioni dell'equazione delle onde scalare.

Le soluzioni dell'equazione d'onda e le condizioni al contorno

Dato che il sistema ha simmetria sferica, conviene risolvere il problema in coordinate sferiche. Sfruttando il fatto che le onde sferiche costituiscono un insieme di funzioni completo e ortonormale, ossia che qualsiasi altra funzione può essere sviluppata come somma di onde sferiche, l'idea di base alla teoria di Mie è di riscrivere l'onda piana incidente come sovrapposizione di onde sferiche (tramite uno sviluppo in serie) dentro e fuori la sfera e imporre le condizioni al contorno sulla superficie per ottenere i coefficienti dello sviluppo.

In particolare possiamo scrivere che all'interno della sfera

$u=e^{i\omega t}\cos \varphi \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}-a_n(-i{)}^n\frac{2n+1}{n(n+1)}{P}_n^l(\cos \theta )j_n(kr)$ e

$v=e^{i\omega t}\sin \varphi \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}-b_n(-i{)}^n\frac{2n+1}{n(n+1)}{P}_n^l(\cos \theta )j_n(kr)$

dove $P_n^l$ sono le funzioni associate di Legendre e $j_n$ sono le funzioni di Bessel sferiche di prima specie.

In coordinate sferiche l'equazione d'onda è fattorizzabile e ha soluzioni del tipo

${\psi }_{n,l}=\cos l\varphi P_n^l(\cos \theta )z_n(mkr)$ e

${\psi }_{n,l}=\sin l\varphi P_n^l(\cos \theta )z_n(mkr)$

dove n e l sono dei numeri interi, $P_n^l$ sono polinomi associati di Legendre e $z_n$ sono le funzioni di Bessel sferiche.

Imponendo le condizioni al contorno sulla superficie della sfera e introducendo il parametro $x=\frac{2\pi a}{\lambda }$ si ottengono i coefficienti di scattering:

$\begin{array}{c}{a}_n=\frac{{\psi }_n^{\prime }(mx){\psi }_n(x)-m{\psi }_n(mx){\psi }_n^{\prime }(x)}{{\psi }_n^{\prime }(mx){\zeta }_n(x)-m{\psi }_n(mx){\zeta }^{\prime }(x)}\\ \\ b_n=\frac{m{\psi }_n^{\prime }(mx){\psi }_n(x)-{\psi }_n(mx){\psi }_n^{\prime }(x)}{m{\psi }_n^{\prime }(mx){\zeta }_n(x)-{\psi }_n(mx){\zeta }^{\prime }(x)}\end{array}$

dove $\psi$ e $\zeta$ sono le funzioni di Riccati-Bessel.

La sezione d'urto totale che si ottiene è:

$\mathrm{\Sigma }=\frac{2\pi }{k^2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}({\left|a_n\right|}^2+{\left|b_n\right|}^2)$.

Voci correlate

• Effetto Tyndall
• Scattering Rayleigh