Teorema di Hahn-Banach

In matematica, in particolare in analisi funzionale, il teorema di Hahn-Banach è un teorema che permette di estendere operatori lineari limitati definiti su un sottospazio di qualche spazio vettoriale a tutto lo spazio, e mostra inoltre che ci sono sufficienti funzionali lineari continui definiti su ogni spazio normato tali da rendere lo studio dello spazio duale interessante. È così chiamato grazie a Hans Hahn e Stefan Banach, che provarono questo teorema indipendentemente l'uno dall'altro negli anni venti del ventesimo secolo.

Il teorema

Sia $V$ uno spazio vettoriale sul campo $K$ (che può essere quello reale $ℝ$ o quello complesso $ℂ$). Una funzione $f:V\to ℝ$ si dice sublineare se:

$f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)\mathrm{\forall }\gamma \in {ℝ}_{+}\mathrm{\forall }x\in V$

$f(x+y)\le f(x)+f(y)\mathrm{\forall }x,y\in V$

Ogni seminorma su $V$, ed in particolare ogni norma su $V$, è sublineare.

Si dice inoltre che una funzione $F$ è l'estensione di una funzione $f$ se il dominio di $F$ contiene quello di $f$ e le funzioni coincidono in ogni punto del dominio di $f$.

Enunciato

Il teorema di Hahn–Banach afferma che se $𝒩:V\to ℝ$ è una funzione sublineare e $\phi :U\to ℝ$ è un funzionale lineare su un sottospazio vettoriale $U\subseteq V$ e $\phi$ è dominato da $𝒩$ su $U$, ovvero:

$\phi (x)\le 𝒩(x)\mathrm{\forall }x\in U$

allora esiste un'estensione lineare $\psi :V\to ℝ$ di $\phi$ definita sull'intero spazio. In altri termini, esiste un funzionale lineare $\psi$ tale che:

$\psi (x)=\phi (x)\mathrm{\forall }x\in U\psi (x)\le 𝒩(x)\mathrm{\forall }x\in V$

L'estensione $\psi$ non è in generale unicamente determinata da $\phi$, e la dimostrazione non fornisce un metodo per trovare $\psi$ nel caso di uno spazio a dimensione infinita $V$, ma si appoggia al lemma di Zorn.

La condizione di sublinearità su $𝒩$ può essere leggermente indebolita assumendo che:

$𝒩(ax+by)\le |a|𝒩(x)+|b|N(y)$

per tutti gli $a$ e $b$ in $K$ tali che $|a|+|b|=1$.

Dimostrazione

Sia $X$ uno spazio vettoriale su $ℝ$ e sia $p:X\to ℝ$ una funzione tale che:

$p(tx+(1-t)y)\le tp(x)+(1-t)p(y)\mathrm{\forall }x,y\in X\mathrm{\forall }t\in [0,1]$

Sia $Y$ un sottospazio di $X$ e sia $f:Y\to ℝ$ una funzione lineare tale che:

$f(x)\le p(x)\mathrm{\forall }x\in Y$

Allora esiste una funzione lineare $F:X\to ℝ$ tale che:

$F(x)=f(x)\mathrm{\forall }x\in Y$

$F(x)\le p(x)\mathrm{\forall }x\in X$

Per dimostrare questo fatto, sia $z\in X\setminus Y$ e si consideri il sottospazio di $X$ definito nel modo seguente:

$Y_z\doteq \{y+az,y\in Y,a\in ℝ\}$

Si estende $f$ su tutto $Y_z$ ponendo:

$\tilde{f}(y+az)\doteq f(y)+a\tilde{f}(z)$

dove $\tilde{f}(z)$ è un numero reale che viene determinato nel seguito. La funzione $\tilde{f}$ è una estensione lineare di $f$.

Siano ora $y_1,y_2\in Y$ e $a,b>0$. Si ha:

$f(a{y}_1+b{y}_2)=af(y_1)+bf(y_2)=(a+b)f(\frac{a}{a+b}{y}_1+\frac{b}{a+b}{y}_2)\le$

$(a+b)p(\frac{a}{a+b}{y}_1+\frac{b}{a+b}{y}_2)=$

$(a+b)p(\frac{a}{a+b}(y_1-bz)+\frac{b}{a+b}(y_2+az))\le$

$ap(y_1-bz)+bp(y_2+az)$

Pertanto risulta:

$a(f(y_1)-p(y_1-bz))\le -b(f(y_2)-p(y_2+az))$

e quindi:

$\frac{1}{b}(-p(y_1-bz)+f(y_1))\le \frac{1}{a}(p(y_2+az)-f(y_2))\mathrm{\forall }{y}_1,y_2\in Y,\mathrm{\forall }a,b>0$

Quindi esiste $c\in ℝ$ tale che:

$\underset{a>0,y\in Y}{\sup }\left\{\frac{1}{a}[-p(y-az)+f(y)]\right\}\le c\le \underset{a>0,y\in Y}{\inf }\left\{\frac{1}{a}[p(y+az)-f(y)]\right\}$

Da tale disuguaglianza si evince che:

$ac\le p(y+az)-f(y)\mathrm{\forall }y\in Y,\mathrm{\forall }a\in ℝ$

Si pone quindi:

$\tilde{f}(z)=c$

Per ogni $y\in Y$ e per ogni $a\in ℝ$ risulta:

$\tilde{f}(y+az)=f(y)+ac\le p(y+az)$

cioè:

$\tilde{f}(x)\le p(x)\mathrm{\forall }x\in Y_z$

Sia ora $E$ l'insieme delle estensioni lineari $e$ di $f$ tali che $e(x)\le p(x)$ per ogni $x$ appartenente al dominio di definizione di $e$. Per il punto precedente $E$ è un insieme non banale.

Si definisce in $E$ una relazione d'ordine dicendo che $e_1\le e_2$ se il dominio di definizione di $e_1$ è contenuto nel dominio di definizione di $e_2$ e $e_1$ ed $e_2$ coincidono sul dominio di definizione di $e_1$.

Si consideri un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di $E$, denotato con $U=\{e_a,a\in A\}$, dove $A$ è un arbitrario insieme di indici, e sia $X_a$ il dominio di definizione di $e_a\in U$. Si pone $Y={\cup }_{a\in A}{X}_a$ e, dato $y\in Y$, si definisce $e(y)=e_b(y)$, dove $b\in A$ è un qualsiasi indice di $A$ tale che $y\in X_b$. La definizione di $e$ è ben posta, ed $e$ è una estensione lineare di ogni $e_a\in U$. Inoltre risulta $e(x)\le p(x)\mathrm{\forall }x\in Y$.

Si deduce che $e$ è un limite superiore per $U$. Essendo $U$ un arbitrario sottoinsieme totalmente ordinato di $E$ il lemma di Zorn implica che esiste un elemento massimale di $E$ denotato con $F$. Sia $\tilde{Y}$ il dominio di definizione di $F$. Se si mostra che $\tilde{Y}=X$, il teorema è provato.

L'insieme $\tilde{Y}$ è un sottospazio di $X$. Si supponga, per assurdo, che esista $z\in X\setminus \tilde{Y}$. Applicando il primo punto al sottospazio:

${\tilde{Y}}_z\doteq \{y+az,y\in \tilde{Y},a\in ℝ\}$

si può costruire una estensione non banale di $F$ che, per le proprietà dimostrate nel primo punto, contraddice la massimalità di $F$ su $E$. Di qui l'assurdo che conclude la dimostrazione.

Conseguenze

Esistono alcune importanti conseguenze del teorema che talvolta vengono anch'esse chiamate "teorema di Hahn–Banach":

• Se $V$ è uno spazio normato con sottospazio $U$ (non necessariamente chiuso) e se $\mathrm{\Phi }:U\to K$ è lineare e continua, allora esiste un'estensione $\mathrm{\Psi }:V\to K$ di $\mathrm{\Phi }$ che è anch'essa lineare e continua e che ha la stessa norma di $\mathrm{\Phi }$.
• Se $V$ è uno spazio normato con sottospazio U (non necessariamente chiuso) e se $z$ è un elemento di $V$ non contenuto nella chiusura di $U$, allora esiste un'applicazione lineare e continua $\mathrm{\Psi }:V\to K$ con $\mathrm{\Psi }(x)=0$ per ogni $x\in U$, $\mathrm{\Psi }(z)=1$, e $\Vert \mathrm{\Psi }\Vert =\Vert z{\Vert }^{-1}$.

Il Mizar project ha completamente formalizzato e controllato automaticamente la dimostrazione del teorema di Hahn–Banach nel file HAHNBAN.

Forme geometriche

Il teorema di Hahn-Banach ha due importanti corollari, noti anche come prima e seconda forma geometrica, la cui formulazione richiede alcune nozioni preliminari. Sia $X$ uno spazio vettoriale normato su $ℝ$ e sia $f:X\to ℝ$ un funzionale lineare continuo non nullo. Dato $a\in ℝ$, l'insieme:

$H\doteq \{x\in X:f(x)=a\}$

si dice iperpiano in $X$ di equazione $f=a$. Dati due sottoinsiemi $A,B$ di $X$ non vuoti e disgiunti, si dice che l'iperpiano $H$ separa $A$ e $B$ se risulta:

$f(x)\le a\mathrm{\forall }x\in A$

e:

$f(x)\ge a\mathrm{\forall }x\in B$

Si dice che l'iperpiano $H$ separa $A$ e $B$ in senso stretto se esiste un numero $\epsilon >0$ tale che:

$f(x)\le a-\epsilon \mathrm{\forall }x\in A$

e:

$f(x)\ge a+\epsilon \mathrm{\forall }x\in B$

Valgono quindi i seguenti corollari del teorema di Hahn-Banach.

Prima forma geometrica del teorema di Hahn-Banach

Siano $X$ uno spazio vettoriale normato su $ℝ$, $A,B$ due sottoinsiemi non vuoti, convessi e disgiunti di $X$ e si supponga che almeno uno di essi sia aperto. Allora esiste un iperpiano di equazione $f=a$ che separa $A$ e $B$.

Seconda forma geometrica del teorema di Hahn-Banach

Siano $X$ uno spazio vettoriale normato su $ℝ$, $A,B$ due sottoinsiemi chiusi non vuoti, convessi e disgiunti di $X$ e si supponga che almeno uno di essi sia compatto. Allora esiste un iperpiano di equazione $f=a$ che separa $A$ e $B$ in senso stretto.

Bibliografia

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• Template:EnLawrence Narici, Edward Beckenstein, The Hahn–Banach Theorem: The Life and Times, Topology and its Applications, Volume 77, 2ª edizione (3 giugno 1997) Pagine 193-211. È disponibile un preprint in linea qui

Voci correlate

• Funzionale lineare
• Funzione sublineare
• Operatore lineare limitato
• Spazio duale

Collegamenti esterni

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