Matrice trasposta coniugata

Template:Nota disambigua In algebra lineare, la matrice trasposta coniugata o matrice aggiunta di una matrice a valori complessi è la matrice ottenuta effettuando la trasposta e scambiando ogni valore con il suo complesso coniugato.

Definizione

Data una matrice $A$, indicando con $A^T$ la sua trasposta e con l'asterisco $*$ l'operazione di coniugazione complessa di tutti i suoi elementi, la trasposta coniugata $A^{†}$ è data da:

$A^{†}=(A^T{)}^{*}=(A^{*}{)}^T$

In termini degli elementi vale la relazione:

$(A^{†}{)}_{jk}=A_{kj}^{*}$

cioè se j è l'indice di riga e k quello di colonna:

$A_{kj}^{*}=A_{jk}^{†}$

Ad esempio:

$A=\left(\begin{array}{cc}3+9i& 2+i\\ 7-6i& 1-3i\end{array}\right)A^{†}=\left(\begin{array}{cc}3-9i& 7+6i\\ 2-i& 1+3i\end{array}\right)$

Proprietà

Valgono le seguenti proprietà:

${\left(A^{†}\right)}^{†}=A{(A+B)}^{†}=A^{†}+B^{†}{\left(cA\right)}^{†}=c^{*}\cdot A^{†}{(A\cdot B)}^{†}=B^{†}\cdot A^{†}$

e in generale:

${(A\cdot B\cdot C\cdot D...)}^{†}=...D^{†}\cdot C^{†}\cdot B^{†}\cdot A^{†}$

Dalle precedenti proprietà si può ricavare

${\left(A^{†}\right)}^{-1}={\left(A^{-1}\right)}^{†}=A^{-†}$;

infatti

$A^{†}{\left(A^{†}\right)}^{-1}=I_n=I_n^{†}={\left(A^{-1}A\right)}^{†}=A^{†}{\left(A^{-1}\right)}^{†}.$

L'uguaglianza segue perciò dall'unicità della matrice inversa.

Denotando con $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ il prodotto hermitiano standard fra vettori di ${ℂ}^n$:

$⟨Au,v⟩=⟨u,A^{†}v⟩⟨u,Av{⟩}^{*}=⟨v,A^{†}u⟩$

Matrici hermitiane

Template:Vedi anche Una matrice coincidente con la sua trasposta coniugata è detta matrice hermitiana (o matrice autoaggiunta). Una tale matrice induce un prodotto hermitiano

$\varphi (u,v)=(u,Av)$

Ad esempio, dalle proprietà viste in precedenza segue che il numero:

$(u,Au)=(u,Au{)}^{*}$

è reale.

Ogni matrice quadrata complessa $A$ può essere sempre scritta come somma di una matrice hermitiana e una antihermitiana:

$A=\frac{1}{2}(A+A^{†})+\frac{1}{2}(A-A^{†})$

Bibliografia

• Template:En F.R. Gantmakher, Matrix theory , 1–2 , Chelsea, reprint (1959)
• Template:En B. Noble, J.W. Daniel, Applied linear algebra , Prentice-Hall (1979)

Voci correlate

• Matrice (matematica)
• Matrice hermitiana
• Matrice antihermitiana
• Matrice normale
• Matrice simmetrica
• Numero complesso
• Operatore aggiunto
• Operatore autoaggiunto
• Quoziente di Rayleigh
• Glossario sulle matrici

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
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