Forma canonica di Jordan

Esempio di matrice in forma canonica di Jordan. I blocchi evidenziati in grigio sono detti blocchi di Jordan.

In matematica, più precisamente in algebra lineare, la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata $A$ è una matrice triangolare $J$ simile ad $A$ che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. La matrice è diagonale se e solo se $A$ è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan.

La forma canonica caratterizza univocamente la classe di similitudine di una matrice. In altre parole, due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma di Jordan (a meno di permutazione dei blocchi).

Il nome è dovuto al matematico francese Camille Jordan che si è occupato di matrici diagonalizzabili.

Definizione

Un blocco di Jordan di ordine $k$ è una matrice triangolare superiore con $k$ righe costituita nel seguente modo:

$J_k(\lambda ):=\left(\begin{array}{ccccc}\lambda & 1& 0& \cdots & 0\\ 0& \ddots & \ddots & & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ ⋮& & \ddots & \ddots & 1\\ 0& \cdots & \cdots & 0& \lambda \end{array}\right)$

in cui ogni elemento della diagonale è uguale a $\lambda$ ed in ogni posizione $(i,i+1)$ si trova un 1. Il suo polinomio caratteristico è $(x-\lambda {)}^k$, e quindi ha $\lambda$ come unico autovalore con la molteplicità algebrica $k$. D'altra parte, l'autospazio relativo a $\lambda$ è:

$\ker (J_k(\lambda )-\lambda I)=\ker \left(\begin{array}{ccccc}0& 1& 0& \cdots & 0\\ 0& \ddots & \ddots & & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & 0\\ ⋮& & \ddots & \ddots & 1\\ 0& \cdots & \cdots & 0& 0\end{array}\right)=\text{Span}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ ⋮\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$

avente, quindi, dimensione 1. Dal teorema di diagonalizzabilità segue che se $k>1$ il blocco di Jordan non è diagonalizzabile.

Una matrice in forma canonica di Jordan o matrice di Jordan è una matrice diagonale a blocchi di Jordan, cioè del tipo:

$J=\left(\begin{array}{ccc}{J}_1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & J_k\end{array}\right)$

dove $J_i$ è un blocco di Jordan con autovalore ${\lambda }_i$. Ogni blocco di Jordan contribuisce con un autospazio unidimensionale relativo a ${\lambda }_i$.

La molteplicità geometrica di ${\lambda }_i$, definita come la dimensione del relativo autospazio, è pari al numero di blocchi con autovalore ${\lambda }_i$. D'altra parte, la molteplicità algebrica di ${\lambda }_i$, definita come la molteplicità della radice ${\lambda }_i$ nel polinomio caratteristico di $J$, è pari alla somma degli ordini di tutti i blocchi con autovalore ${\lambda }_i$.

In questo contesto, il teorema di diagonalizzabilità asserisce, quindi, che $J$ è diagonalizzabile se e solo se le molteplicità algebriche e geometriche coincidono, ovvero se e solo se i blocchi hanno tutti ordine pari ad 1: in altre parole, $J$ è diagonalizzabile se e solo se è già diagonale.

Teorema di Jordan

Si dice che una matrice quadrata $A$ con elementi in un campo $K$ ha "tutti gli autovalori nel campo" se la somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è pari al numero di righe di $A$. Questo equivale a dire che il suo polinomio caratteristico ha "tutte le radici nel campo", cioè che si spezza come prodotto di polinomi di primo grado. Questo è sempre vero se $K$ è algebricamente chiuso, ad esempio se $K$ è il campo dei numeri complessi.

Il teorema di Jordan asserisce che ogni matrice ha una "forma canonica di Jordan", e che due matrici sono simili se e solo se hanno la stessa forma canonica:

• Sia $A$ una matrice quadrata con elementi in $K$ avente tutti gli autovalori nel campo. Allora $A$ è simile ad una matrice di Jordan.
• Due matrici di Jordan $J$ e $J^{\prime }$ sono simili se e solo se si ottengono l'una dall'altra permutando i blocchi.

Esempi

Si vuole calcolare la forma canonica di Jordan della matrice

$A=\left(\begin{array}{cccc}5& 4& 2& 1\\ 0& 1& -1& -1\\ -1& -1& 3& 0\\ 1& 1& -1& 2\end{array}\right)$

Il suo polinomio caratteristico è $(x-4{)}^2(x-2)(x-1)$, quindi i suoi autovalori sono 4, 4, 2 e 1. Si ricorda che, se si indica con $m_{\text{alg}}(\lambda )$ e $m_{\text{geo}}(\lambda )$ le molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore $\lambda$, valgono sempre le seguenti disuguaglianze:

$1\le m_{\text{geo}}(\lambda )\le m_{\text{alg}}(\lambda )$

Quindi in questo caso le molteplicità algebriche e geometriche degli autovalori 2 e 1 sono tutte 1, e l'unica grandezza da trovare è la molteplicità geometrica di 4, che può essere 1 o 2. La molteplicità geometrica di un autovalore indica il numero di blocchi di Jordan presenti relativi a quell'autovalore. Si vede che:

$\dim \ker (A-4I)=1$

Segue quindi che $A$ non è diagonalizzabile, e l'autovalore 4 ha un solo blocco di Jordan. I dati in possesso sono sufficienti a determinare la matrice di Jordan, che è la seguente:

$J=\left(\begin{array}{cccc}4& 1& 0& 0\\ 0& 4& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$

Polinomio minimo

Il polinomio minimo $m(x)$ di una matrice $A$ è calcolabile a partire dalla sua forma di Jordan $J$. Infatti si decompone come:

$m(x)=(x-{\lambda }_1{)}^{j_1}\cdots (x-{\lambda }_k{)}^{j_k}$

dove ${\lambda }_1\dots {\lambda }_k$ sono gli autovalori (distinti, cioè elencati senza molteplicità) di $A$, e $j_i$ è l'ordine del blocco di Jordan più grande fra tutti quelli relativi all'autovalore ${\lambda }_i$.

Ad esempio, la seguente matrice:

$J=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 0\\ 0& 3& 1& 0\\ 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right)$

ha $(x-3{)}^4$ come polinomio caratteristico e $(x-3{)}^3$ come polinomio minimo.

Usando il teorema di Jordan e la decomposizione del polinomio minimo enunciata, si ha che le due matrici

$A=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 0\\ 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 3& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}3& 1& 0& 0\\ 0& 3& 0& 0\\ 0& 0& 3& 1\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right)$

hanno gli stessi polinomi caratteristici (e quindi anche lo stesso determinante, la stessa traccia e gli stessi autovalori), gli stessi polinomi minimi, ma non sono simili.

Bibliografia

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Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Decomposizione di una matrice
• Diagonalizzabilità
• Matrice diagonale
• Matrice quadrata
• Matrice triangolare
• Polinomio caratteristico
• Polinomio minimo
• Similitudine tra matrici

Collegamenti esterni

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