Teorema di Rouché-Capelli

Il teorema di Rouché-Capelli è un teorema di algebra lineare che permette di caratterizzare l'insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni lineari (eventualmente vuoto) mediante il rango della matrice completa e della matrice incompleta.

Prende il nome dal matematico francese Eugène Rouché, suo ideatore, e dal matematico italiano Alfredo Capelli, che lo riscrisse in maniera più semplice. A questo teorema, che ha interesse prevalentemente didattico, vengono anche associati i nomi di Fontené, Kronecker e Frobenius.

Il teorema di Rouché-Capelli

Consideriamo il sistema di equazioni lineari:

$\{\begin{array}{c}{a}_{1,1}{x}_1+a_{1,2}{x}_2+\cdots +a_{1,n}{x}_n=b_1\\ a_{2,1}{x}_1+a_{2,2}{x}_2+\cdots +a_{2,n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m,1}{x}_1+a_{m,2}{x}_2+\cdots +a_{m,n}{x}_n=b_m\end{array}$

nel quale i coefficienti del sistema lineare (e quindi delle matrici) e le componenti dei vettori sono elementi di un campo $K$, quale ad esempio quello dei numeri reali $ℝ$ o complessi $ℂ$.

Il sistema è rappresentato fedelmente dalla matrice:

$(A|𝐛)=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right|\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array})$

detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice $A$ dei coefficienti e di un'ulteriore colonna $𝐛$, detta colonna dei termini noti. Le matrici $A$ e $(A|𝐛)$ sono dette rispettivamente incompleta e completa.

Il teorema di Rouché-Capelli afferma che esistono soluzioni per il sistema se e solo se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta:

$\mathrm{rk}(A|𝐛)=\mathrm{rk}(A|\mathrm{𝟎})$

Se esistono soluzioni, queste formano un sottospazio affine di $K^n$ di dimensione $n-\mathrm{rk}(A)$. In particolare, se il campo $K$ è infinito si ha che se $\mathrm{rk}(A)=n$ allora la soluzione è unica, altrimenti esistono infinite soluzioni.
Valgono le seguenti due relazioni:

• $\mathrm{rk}(A|𝐛)⩾\mathrm{rk}(A|\mathrm{𝟎})$
• $\max \{\mathrm{rk}(A|\mathrm{𝟎})\}=\min \{n,m\}$,

dove $n$ è il numero di incognite, e $m$ è il numero di equazioni del sistema.

Dimostrazione

Il sistema può essere descritto in modo più compatto, introducendo il vettore delle coordinate:

$𝐱=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

ed usando il prodotto fra matrici e vettori, nel modo seguente:

$A𝐱=𝐛$

Questa relazione dice che un vettore noto $𝐛$ si vuole sia l'immagine di un vettore incognito $𝐱$ ottenuta mediante l'applicazione lineare $L_A:K^n\to K^m$ associata alla matrice dei coefficienti:

$L_A(𝐱)=A𝐱$

Quindi il sistema ammette soluzione se e solo se $𝐛$ è l'immagine di almeno un vettore $𝐱$ di $K^n$, ovvero se e solo se fa parte dell'immagine di $L_A$. Si osserva che l'immagine di $L_A$ è generata linearmente dai vettori dati dalle colonne di $A$. Quindi $𝐛$ è contenuto nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di $A$ contiene $b$, cioè se e solo se lo span delle colonne di $A$ è uguale allo span delle colonne di $(A|𝐛)$. Quest'ultima affermazione è equivalente a chiedere che le due matrici abbiano lo stesso rango.

Se esiste una soluzione ${𝐱}_0$, ogni altra soluzione si scrive come ${𝐱}_0+𝐯$, dove $𝐯$ è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:

$A𝐯=0$

Infatti:

$A({𝐱}_0+𝐯)=A{𝐱}_0+A𝐯=𝐛+\mathrm{𝟎}=𝐛$

Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore ${𝐱}_0$, è quindi il sottospazio affine dato da:

$\mathrm{Sol}(A|𝐛)={𝐱}_0+\mathrm{Sol}(A|\mathrm{𝟎})$

La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.

Le soluzioni del sistema lineare omogeneo associato sono il nucleo dell'applicazione $L_A$, e per il teorema della dimensione il nucleo è un sottospazio vettoriale di dimensione $n-\mathrm{rk}(A)$. Quindi lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore $x$, è un sottospazio affine della stessa dimensione.

Bibliografia

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Voci correlate

• Rango (algebra lineare)
• Sistema di equazioni lineari
• Sottospazio affine
• Teorema del rango

Collegamenti esterni

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