Matrice di Vandermonde

In algebra lineare con matrice di Vandermonde si indica una matrice le cui righe (oppure le cui colonne) hanno elementi, a partire da 1, in progressione geometrica: $a_{i,j}={\alpha }_i^{j-1}$ (oppure la trasposta $a_{i,j}={\alpha }_j^{i-1}$). Prende il nome dal matematico francese Alexandre-Théophile Vandermonde.

$V=\left(\begin{array}{ccccc}1& {\alpha }_1& {\alpha }_1^2& \dots & {\alpha }_1^{n-1}\\ 1& {\alpha }_2& {\alpha }_2^2& \dots & {\alpha }_2^{n-1}\\ 1& {\alpha }_3& {\alpha }_3^2& \dots & {\alpha }_3^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\alpha }_m& {\alpha }_m^2& \dots & {\alpha }_m^{n-1}\end{array}\right).$

Determinante

Una matrice quadrata di Vandermonde di ordine $n$ ha determinante

$\det (V)=\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i),$

cioè è il prodotto di tutte le possibili differenze (contate una volta sola, con segno opportuno) tra i coefficienti.

Da quest'espressione per il determinante segue che le matrici quadrate di Vandermonde hanno determinante nullo solo se hanno due coefficienti ${\alpha }_i$ uguali, ossia due righe uguali. In particolare, il rango di una generica matrice di Vandermonde è il minimo tra il numero di colonne e il numero di distinti coefficienti ${\alpha }_i$ (ossia di righe distinte).

Dimostrazione

Questa formula si dimostra per induzione sull'ordine $n.$
Vale per $n=1$ (prodotto vuoto).
Per il passo induttivo, supponendo vera la formula per l'ordine $n-1,$ il determinante di una matrice di Vandermonde di ordine $n$ può essere calcolato:

• sottraendo ad ogni colonna la colonna precedente moltiplicata per ${\alpha }_1$

$\det (V)=\det \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots & 0\\ 1& {\alpha }_2-{\alpha }_1& {\alpha }_2({\alpha }_2-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_2^{n-2}({\alpha }_2-{\alpha }_1)\\ 1& {\alpha }_3-{\alpha }_1& {\alpha }_3({\alpha }_3-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_3^{n-2}({\alpha }_3-{\alpha }_1)\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\alpha }_n-{\alpha }_1& {\alpha }_n({\alpha }_n-{\alpha }_1)& \dots & {\alpha }_n^{n-2}({\alpha }_n-{\alpha }_1)\end{array}\right);$

• dividendo ogni riga $j$-esima (tranne la prima) per il termine ${\alpha }_j-{\alpha }_1$, portandolo fuori dalla matrice

$\det (V)=\det \left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& \dots & 0\\ ({\alpha }_2-{\alpha }_1{)}^{-1}& 1& {\alpha }_2& \dots & {\alpha }_2^{n-2}\\ ({\alpha }_3-{\alpha }_1{)}^{-1}& 1& {\alpha }_3& \dots & {\alpha }_3^{n-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮\\ ({\alpha }_n-{\alpha }_1{)}^{-1}& 1& {\alpha }_n& \dots & {\alpha }_n^{n-2}\end{array}\right)\prod _{j=2}^n({\alpha }_j-{\alpha }_1)=\det \left(\begin{array}{cccc}1& {\alpha }_2& \dots & {\alpha }_2^{n-2}\\ 1& {\alpha }_3& \dots & {\alpha }_3^{n-2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ 1& {\alpha }_n& \dots & {\alpha }_n^{n-2}\end{array}\right)\prod _{j=2}^n({\alpha }_j-{\alpha }_1);$

• infine applicando la formula del determinante per una matrice di Vandermonde di ordine $n-1$

$\det (V)=(\prod _{2⩽i<j⩽n}({\alpha }_j-{\alpha }_i))(\prod _{j=2}^n({\alpha }_j-{\alpha }_1))=\prod _{1⩽i<j⩽n}({\alpha }_j-{\alpha }_i).$

Dimostrazione alternativa

Il determinante di $V$ è chiaramente un polinomio sui coefficienti ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n,$ e si annulla quando due righe sono uguali, ossia quando ${\alpha }_i={\alpha }_j.$ Ne consegue che il determinante è uguale a un polinomio $P({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ moltiplicato per $\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_j-{\alpha }_i)$; secondo la classica formula di Leibniz, il grado del determinante su ogni variabile è $n-1,$ quindi il polinomio $P$ è una costante $P_n.$ Che questa costante sia esattamente 1 si può dimostrare per induzione, confrontando i coefficienti di ${\alpha }_n^{n-1}$ ottenuti secondo la formula del determinante e secondo l'ipotesi induttiva.

Applicazioni

Le matrici di Vandermonde descrivono i problemi di interpolazione polinomiale: i coefficienti di un polinomio $P(X)=c_0+c_{1}X+\dots +c_{n-1}{X}^{n-1}$ il cui grafico nel piano passa per i punti $(x_1,y_1),\dots ,(x_n,y_n)$ sono le soluzioni del sistema lineare

$\left(\begin{array}{ccccc}1& x_1& x_1^2& \cdots & x_1^{n-1}\\ 1& x_2& x_2^2& \cdots & x_2^{n-1}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& x_n& x_n^2& \cdots & x_n^{n-1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ ⋮\\ c_{n-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ ⋮\\ y_n\end{array}\right).$

Le matrici di Vandermonde e i loro determinanti sono utilizzati per la formula di Frobenius, per le proprietà dei codici BCH, per l'interpolazione di Hermite, per la trasformata di Fourier discreta e per diagonalizzare le matrici compagne di un polinomio.

Le matrici di Vandermonde sono mal condizionate.

Bibliografia

• Template:Cita libro