Funzione di Dirichlet

La funzione di Dirichlet è una funzione di variabile reale, che assume due soli valori, diversi a seconda che la variabile indipendente sia razionale o irrazionale. Questa funzione fu introdotta da Peter Dirichlet come esempio di funzione molto lontana dalle tradizionali funzioni note fino ad allora nell'analisi matematica.

Definizione

La funzione di Dirichlet è definita nel modo seguente:

$\chi (x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q},\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}.\end{array}$

È la funzione indicatrice dell'insieme dei razionali $\mathbb{Q}$. Viene talora chiamata funzione di Dirichlet la funzione definita a valori invertiti:

$\chi (x)=\{\begin{array}{cc}0,& x\in \mathbb{Q},\\ 1,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}.\end{array}$

Nel seguito quest'ultima funzione sarà indicata come $1-\chi$.

Continuità e integrabilità

La funzione di Dirichlet è una funzione che non è continua in nessun punto del dominioː poiché sia $\mathbb{Q}$ sia l'insieme dei numeri irrazionali sono densi in $ℝ$, ogni intorno di qualsiasi punto contiene sempre almeno un numero razionale e un numero irrazionale (in effetti infiniti punti per entrambe le categorie), e quindi due punti in cui la funzione assume valore 0 e 1.

La funzione è non integrabile secondo Riemann ma integrabile secondo Lebesgue. Poiché la funzione assume quasi ovunque valore 0 (essendo l'insieme dei numeri razionali un insieme di misura nulla poiché l'insieme dei numeri razionali è numerabile, mentre gli irrazionali non lo sono) il risultato dell'operazione di integrazione su qualunque intervallo $[a,b]$ è 0. Per analoghe ragioni, l'integrale della funzione $1-\chi$ sull'intervallo $[a,b]$ vale $b-a$.

Altre proprietà

Il grafico della funzione apparirebbe come due rette orizzontali, di ordinata 0 e 1, "sbiadite", ovvero fatte di tanti punti infinitamente vicini e "buchi" puntiformi infinitamente vicini.

La funzione di Dirichlet è approssimabile mediante funzioni continue secondo la formula seguente:

$\chi (x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\cos {(\pi n!x)}^{2m}).$

La funzione $1-\chi$ presenta inoltre un minimo relativo e assoluto improprio per ogni $x$ razionale, ed un massimo relativo e assoluto improprio per ogni $x$ irrazionale.

Funzione di Dirichlet modificata

Template:Vedi anche Nel 1854 Bernhard Riemann descrisse una variante (detta anche funzione di Thomae) della funzione di Dirichlet, che pur essendo discontinua su ogni intervallo della retta reale, è integrabile secondo Riemann. Una possibile definizione di questa funzione è:

$\mathrm{X}(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{q},& x=\frac{p}{q},\text{con }\frac{p}{q}\text{ ridotta ai minimi termini},\\ 0,& x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}.\end{array}$

Questa funzione è integrabile secondo Riemann perché dato un qualunque valore positivo $\epsilon$, la funzione supera $\epsilon$ solamente in un numero finito di punti; le somme integrali che approssimano il valore dell'integrale tendono quindi a zero. Inoltre, la funzione è anche continua in ogni valore irrazionale di $x$: preso infatti un numero irrazionale $x_0$ e fissato un valore positivo $\epsilon$, esiste sempre un intorno di $x_0$ in cui $\mathrm{X}(x_0)<\epsilon$; segue quindi che:

$\underset{x\to x_0}{\lim }\mathrm{X}(x)=0.$

Bibliografia

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Voci correlate

• Misura di Lebesgue

Collegamenti esterni

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