Distribuzione geometrica

Template:F Template:Variabile casuale In teoria della probabilità la distribuzione geometrica è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri naturali senza l'elemento "0", che segue una progressione geometrica:

$P(X=k)=p(1-p{)}^{k-1}.$

È la probabilità che il primo successo (o evento in generale) richieda l'esecuzione di k prove indipendenti, ognuna con probabilità di successo p. Se la probabilità di successo in ogni prova è p, allora la probabilità che alla k-esima prova si ottenga il primo successo è

$P(X=k)=p(1-p{)}^{k-1},$

con k = 1, 2, 3, …

La formula qui sopra è usata, dunque, per calcolare la probabilità di fare un certo numero k di tentativi fino ad ottenere il primo successo (al k-esimo tentativo). Qui sotto invece, la seguente distribuzione esprime la probabilità di avere k fallimenti prima di ottenere il primo successo:

$P(Y=k)=p(1-p{)}^k,$

per k = 0, 1, 2, 3, …

In entrambi i casi, la successione di probabilità è una serie geometrica.

Definizione

La distribuzione geometrica $𝒢(p)$ è la distribuzione di probabilità sui numeri naturali della forma

$P(k)=p{q}^{k-1}$, con $q=1-p,$

dove q indica la probabilità di insuccesso. Il parametro $q=1-p$ si ricava da

$1=P({\mathbb{N}}^{+})=\sum _{k⩾0}p{q}^k=p\frac{1}{1-q}.$

E ricordando la definizione di q si ottiene 1. Questo risultato è di fondamentale importanza: significa che per quanto sia piccola la probabilità che un evento accada, in un processo di Bernoulli questo prima o poi accadrà (questo si ricollega al teorema della scimmia instancabile).

Se la variabile casuale X ha la distribuzione geometrica sopra descritta riguardante il numero di estrazioni necessarie per ottenere il primo successo, cioè X è distribuita secondo $P(k)=p{q}^{k-1}$ , allora la distribuzione della variabile casuale $Y=X-1$ sarà $P(k)=p{q}^k$ . Nell'esempio citato sopra, X è il numero di estrazioni da fare perché esca un numero fissato (alla X-esima estrazione), mentre Y è il numero di fallimenti prima di avere il primo successo.

Processo di Bernoulli

La distribuzione geometrica di parametro q descrive anche il numero Y di fallimenti che precedono il primo successo in un processo di Bernoulli $\{X_i{\}}_i$ di parametro $p=1-q$:

$P(T=k)=P(X_1=0)\cdots P(X_k=0)P(X_{k+1}=1)=q^{k}p.$

Caratteristiche

Una variabile aleatoria T con distribuzione geometrica di parametro q e avente come supporto i numeri naturali escluso il numero 0 ha

• funzione di probabilità

$P(T=k)=p{q}^{k-1}$

• funzione di ripartizione

$P(T⩽k)=1-P(T⩾k+1)=1-q^k$

• valore atteso

$E[T]=\sum _{k}kp{q}^{k-1}=\frac{1}{p}$

• varianza

$\text{Var}(T)=E[T^2]-E[T{]}^2=\frac{q}{p^2}$

• funzione generatrice dei momenti $g(T,t)=E[e^{tT}]=p{e}^t\sum _k{q}^k{e}^{kt}=\frac{p{e}^t}{1-q{e}^t}$
• funzione caratteristica ${\varphi }_T(t)=E[e^{itT}]=\frac{p{e}^{it}}{1-q{e}^{it}}$

I quantili si ricavano dalla funzione di ripartizione:

• se $n={\log }_q(1-\alpha )$ è un numero intero ($q=\sqrt[n]{1-\alpha }$) allora $F(n-1)=\alpha$ e $q_{\alpha }\in [n-1,n]$;
• se invece ${\log }_q(1-\alpha )$ non è intero, allora $q_{\alpha }=[{\log }_q(1-\alpha )]$ (parte intera).

In particolare la mediana è

$q_{1/2}\in [n-1,n]$ se $q=\sqrt[n]{\frac{1}{2}}$ con $n$ intero,

$q_{1/2}=[{\log }_q\frac{1}{2}]$ altrimenti.

Assenza di memoria

La distribuzione geometrica è priva di memoria, ossia

$P(T=m+n|T>m)=P(T=n),$

ed è l'unica distribuzione di probabilità discreta con questa proprietà.

L'indipendenza delle prove in un processo di Bernoulli implica l'assenza di memoria della distribuzione geometrica. D'altro canto, ogni variabile aleatoria T a supporto sui numeri naturali e priva di memoria rispetta

$P(T=n)=P(T=n+1|T>1)=\frac{P(T=n+1)}{P(T>1)},$

pertanto ha una distribuzione di probabilità geometrica di parametro $P(T=1)$.

Generalizzazioni

Una generalizzazione della distribuzione geometrica è la distribuzione di Pascal (o distribuzione binomiale negativa), che descrive il numero di fallimenti precedenti il successo r-esimo in un processo di Bernoulli.

Un'ulteriore generalizzazione della distribuzione di Pascal è la distribuzione di Panjer che, come la distribuzione geometrica, definisce le probabilità per ricorsione.

Esempi

La probabilità che un dado (equilibrato, a 6 facce) debba venire lanciato esattamente 10 volte prima di fornire un "4" è data dalla distribuzione geometrica. Il lancio del dado può essere considerato un processo di Bernoulli, in cui ogni prova X_i ha probabilità $p=1/6$ di fornire "4" (successo) e $q=5/6$ di fornire un altro numero (fallimento). La probabilità cercata è quindi

$P(T=10)=\frac{1}{6}{\left(\frac{5}{6}\right)}^9=0,032\dots$

La probabilità che dopo 10 lanci sia uscito almeno un "4" è invece

$P(T⩽10)=1-{\left(\frac{5}{6}\right)}^{10}=0,838\dots$

La probabilità che al decimo lancio si ottenga un "4" dopo che per 9 lanci questo numero non è mai stato ottenuto è facilmente calcolabile grazie alla mancanza di memoria

$P(T=10|T>9)=P(T=1)=\frac{1}{6}=0,166\dots$

Voci correlate

• Distribuzione di Bernoulli
• Distribuzione di Panjer
• Distribuzione di Pascal
• Mancanza di memoria
• Processo di Bernoulli
• Variabile casuale

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni