Teorema della probabilità assoluta

Template:F In teoria della probabilità il teorema della probabilità assoluta (detto anche teorema delle partizioni) afferma che se $A_1,\dots ,A_n$ formano una partizione dello spazio campionario di tutti gli eventi possibili $\mathrm{\Omega }$ (ossia $A_i\cap A_j=\varnothing \mathrm{\forall }i\ne j$ e $\underset{i=1}{\overset{n}{\cup }}{A}_i=\mathrm{\Omega }$) e $B$ è un qualsiasi evento (dipendente dagli eventi $A_i$), allora:

$\text{P}(B)=\sum _{i=1}^n\text{P}(A_i\cap B)=\sum _{i=1}^n\text{P}(A_i)\text{P}(B|A_i)$

Dimostrazione

La dimostrazione di questo risultato segue immediatamente dal fatto che:

$B=(A_1\cap B)\cup (A_2\cap B)\cup \cdots \cup (A_n\cap B)$

dunque, per l'additività della probabilità, essendo gli eventi a due a due incompatibili:

$\text{P}(B)=\sum _i\text{P}(A_i\cap B)$

Ma poiché, in base alla definizione di probabilità condizionata: $\text{P}(A_i\cap B)=\text{P}(A_i)\text{P}(B|A_i)$, si ha:

$\text{P}(B)=\sum _i\text{P}(A_i)\text{P}(B|A_i)$

come volevasi dimostrare.

Voci correlate

• Teorema della probabilità composta
• Teorema di Bayes

Collegamenti esterni

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