Equazione ipergeometrica

In matematica, lTemplate:'equazione ipergeometrica è una equazione differenziale ordinaria lineare ottenuta a partire dall'equazione di Papperitz-Riemann. Le sue soluzioni sono dette funzioni ipergeometriche, e rivestono grande importanza in matematica. Ogni equazione differenziale ordinaria del secondo ordine con al massimo tre singolarità regolari può essere trasformata nell'equazione ipergeometrica.

L'equazione ha la forma:

$z(1-z)\frac{d^2}{d{z}^2}u(z)+[c-(a+b+1)z]\frac{d}{dz}u(z)-abu(z)=0$

ovvero:

$z(1-z)u^{″}+[c-(a+b+1)z]u^{\prime }-abu=0$

con $a$, $b$, $c$ e $z$ variabili complesse o variabili formali; in genere è opportuno considerare $a$, $b$ e $c$ come parametri costanti che caratterizzano una famiglia di equazioni e di soluzioni. L'equazione possiede singolarità regolari, in $0$, $1$ e $\mathrm{\infty }$.

Soluzioni

Template:Vedi anche Generalmente si può facilmente ricavare questa equazione dall'equazione di Papperitz-Riemann, ma è possibile dimostrare che ogni equazione fuchsiana con tre punti di singolarità fuchsiane può sempre essere ricondotta alla ipergeometrica. Se si riesce a padroneggiare questa riconduzione si ha il vantaggio di conoscere già le soluzioni di quest'ultima e poter ricavare facilmente le soluzioni della prima.

Si usa spesso esprimere la soluzione tramite il simbolo P di Riemann:

$u:=P\left\{\begin{array}{ccc}0& 1& \mathrm{\infty }\\ 0& 0& a& z\\ 1-c& c-a-b& b\end{array}\right\}$

L'espressione esplicita di una prima soluzione $u_1$ si può determinare esprimendola come serie di potenze:

$u_1=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$

spostando il problema all'analisi dei coefficienti di tale serie, ovvero alle soluzioni di un sistema numerabile di equazioni algebriche nelle incognite $c_n$. Sostituendo e trovando una prima soluzione per i $c_n$ si ottiene una prima soluzione del tipo:

$u_1=F(a,b;c;z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a{)}_k(b{)}_k}{(c{)}_{k}k!}{z}^k$

con $\left|z\right|<1$ e $c\ne n,n=-1,-2,-3\dots$; qui si sono utilizzati fattoriali crescenti come $(a{)}_k$.

In maniera analoga si può ricavare la seconda soluzione $u_2$, linearmente indipendente da $u_1$ solo se gli esponenti (o la loro parte reale se sono complessi) non differiscono per numeri interi:

$u_2=(1-z{)}^{c-1}F(a+1-c,b+1-c;2-c;z)=(1-z{)}^{c-1}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(a+1-c{)}_k(b+1-c{)}_k}{(2-c{)}_{k}k!}{z}^k$

con $\left|z\right|<1$ e $1-c\ne n,n=0,-1,-2,-3\dots$.

Nel caso in cui gli esponenti differiscano per interi si ha una seconda soluzione di tipo logaritmico:

$u_2=a{u}_1(z)\log (z-z_0)+(z-z_0{)}^{{\rho }_1}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_k(z-z_0{)}^k$

Relazioni tra soluzioni di equazioni ipergeometriche

Sfruttando le proprietà di trasformazione del simbolo P di Riemann si può facilmente ricavare delle relazioni tra le soluzioni dell'Equazione Ipergeometrica. La prima che andremo ad analizzare va sotto il nome di relazione di autotrasformazione:

$F(a,b;c;z)=(1-z{)}^{c-a-b}F(c-a,c-b;c;z)$

che risulta valida anche per $c$ numero intero positivo, per motivi di continuità. Un'altra relazione è la prima delle formule di Bolza:

$F(a,b;c;z)=(1-z{)}^{-a}F(a,c-1;c;\frac{z}{1-z})$

Derivata n-esima

Vale la seguente formula per la derivata n-esima di una funzione ipergeometrica:

$\frac{d^n}{d{z}^n}F(a,b;c;z)=\frac{(a{)}_n(b{)}_n}{(c_n)}F(a+n,b+n;c+n;z)$

Integrali ipergeometrici

Risolvendo l'integrale complesso (integrale ipergeometrico):

$I(z)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{c-a-1}(1-zt{)}^{-b}dt$

si ottiene il risultato:

$I(z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(c-a)}{\mathrm{\Gamma }(c)}F(a,b;c;z)$

dove $\mathrm{\Gamma }$ denota la funzione gamma.

Questo risultato consente di vedere che la funzione ipergeometrica ammette la rappresentazione integrale (di Eulero):

$F(a,b;c;z)=\frac{\mathrm{\Gamma }(c)}{\mathrm{\Gamma }(a)\mathrm{\Gamma }(c-a)}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{t}^{a-1}(1-t{)}^{c-a-1}(1-zt{)}^{-b}dt$

Inoltre utilizzando quest'ultima relazione si ricava facilmente il valore della funzione ipergeometrica nel limite$z\to 1^{-}$:

$F(a,b;c;1^{-})=\frac{\mathrm{\Gamma }(c)\mathrm{\Gamma }(c-a-b)}{\mathrm{\Gamma }(c-a)\mathrm{\Gamma }(c-b)}$

Bibliografia

• Cesare Rossetti (1975): Metodi matematici per la fisica, Libreria Editrice Universitaria Levrotto & Bella, Torino, Capitolo 9.
• Template:Fr Edouard Goursat (1936) Leçons sur les séries hypergéométriques et sur quelques fonctions qui s'y rattachent, Hermann, Parigi.
• Template:Fr Joseph Kampé de Fériet (1937) La fonction hypergéométrique Mémorial des sciences mathématiques, n° 85, Gauthier-Villars, Parigi.
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Voci correlate

• Equazione di Papperitz-Riemann
• Equazione ipergeometrica confluente
• Serie ipergeometrica

Collegamenti esterni

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