Teorema di Kato-Rellich

il teorema di Kato-Rellich è un risultato di teoria degli operatori che trova ampia applicazione nella meccanica quantistica. Tale teorema dimostra che la somma di un operatore autoaggiunto e un operatore simmetrico, sotto opportune ipotesi, è un operatore autoaggiunto. Raramente questo risultato viene applicato per generare nuovi operatori autoaggiunti, piuttosto viene impiegato per dimostrare l'autoaggiuntezza di un operatore decomponendolo nella somma di due operatori che sono o noti o comunque più semplici da studiare.

Teorema (Kato-Rellich)

Siano $A$ e $B$ due operatori definiti rispettivamente nei domini $𝒟(A)$ e $𝒟(B)$. Si dice che $B$ è $A$-limitato se il dominio di $A$ è un sottoinsieme del domino di $B$, $𝒟(A)\subset 𝒟(B)$, ed esistono due costanti positive $a,b>0$ tali che

$\Vert B\psi \Vert \le a\Vert A\psi \Vert +b\Vert \psi \Vert ,\mathrm{\forall }\psi \in 𝒟(A).$

Enunciato

Sia $A$ un operatore (essenzialmente) autoaggiunto e sia $B$ un operatore simmetrico, A-limitato con $a<1$. Allora, $A+B$ è (essenzialmente) autoaggiunto sul dominio $𝒟(A+B)=𝒟(A)$.

Applicazioni

Grazie al teorema di Kato-Rellich si può dimostrare quanto segue:

Teorema

Sia $n\in \mathbb{N}$ fissato e sia $V=V_p+V_{\mathrm{\infty }}$ con $V_p$ l'operatore di moltiplicazione per la funzione $f\in L^p({ℝ}^n)$, dove $p=2$ se $1\le n\le 3$, $p>2$ se $n=4$ e $p=\frac{n}{2}$ se $n>4$, e $V_{\mathrm{\infty }}$l'operatore di moltiplicazione per la funzione $g\in L^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^n)$. Allora vale:

• $-\mathrm{\Delta }+V$ è essenzialmente autoaggiunto sullo spazio delle funzioni test $𝒟({ℝ}^n)$ e sullo spazio di schwartz $𝒮({ℝ}^n)$;
• l'unica estensione autoaggiunta $\overline{-\mathrm{\Delta }+V}$ è l'operatore $-\overline{\mathrm{\Delta }}+V$ sul dominio $𝒟(\overline{\mathrm{\Delta }})$;
• lo spettro $\sigma (\overline{-\mathrm{\Delta }+V})$ è limitato dal basso.

Questo teorema è importante in meccanica quantistica in quanto permette di dimostrare in maniera semplice l'autoaggiunzione di molti operatori hamiltoniani quantistici in quanto essi sono della forma $-\mathrm{\Delta }+V.$

Bibliografia

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• Valter Moretti, Spectral Theory and Quantum mechanics 2nd English edition. Springer Science & Business Media, 2017.

Voci correlate

• Meccanica quantistica
• Teoria degli operatori
• Operatore autoaggiunto