Periodo (teoria dei numeri)

In matematica, un periodo è un tipo di numero che può essere espresso mediante l'integrale di una funzione algebrica su un dominio algebrico, cioè un insieme numerico definito tramite un’equazione o una disuguaglianza. Tale nozione è stata ufficialmente introdotta da Maxim Kontsevich e Don Zagier nel 2001, riprendendo un discorso tenuto da Kontsevich nel 1999 per il Journée Annuelle della Société mathématique de France.

Definizione

Secondo Kontsevich “un periodo è un numero complesso le cui parti reale e immaginaria sono i valori di integrali assolutamente convergenti di funzioni razionali a coefficienti razionali su domini in ${ℝ}^n$, definiti tramite diseguaglianze polinomiali a coefficienti razionali".

È del tutto equivalente sostituire nella definizione sopra ai numeri razionali $\mathbb{Q}$ quelli algebrici.

In pratica un periodo $p$ si presenta nella forma:

$p=\underset{\mathrm{\Delta }}{\int }\frac{f(x_1,\dots ,x_n)}{g(x_1,\dots ,x_n)}\mathrm{d}{x}_1\dots \mathrm{d}{x}_n,$

dove $\mathrm{\Delta }\subset {ℝ}^n$e $f$ e $g$ sono polinomi con coefficienti in $\mathbb{Q}.$

Il nome fa riferimento al fatto che casi notevoli di tali numeri sono $\pi$ e suoi multipli, i quali sono, appunto, i periodi di funzioni periodiche fondamentali, come ad esempio $\sin (x)$, $\cos (x)$e $e^{ix}$, o periodi di funzioni ellittiche.

L’insieme di tutti i periodi viene indicato con il simbolo $\mathbb{P}$.

Esempi

• Tutti i numeri algebrici, come

$\sqrt{2}=\underset{2x^2\le 1}{\int }\mathrm{d}x,$ossia$\sqrt{2}=\underset{-1/\sqrt{2}}{\overset{1/\sqrt{2}}{\int }}\mathrm{d}x$.

In pratica ponendo l’integrando uguale alla costante 1 si può sempre costruire il valore finale in base al dominio.

• I numeri trascendenti come $\pi$ sono un periodo, in quanto possono essere scritti come

$\pi =\underset{x^2+y^2\le 1}{\int }\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$

$2\pi =\underset{x^2+y^2=1}{\int }\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$

$2\pi i=\oint \frac{dz}{z},$

nel piano complesso attorno al punto $z=0.$

• I logaritmi di numeri algebrici, come:

$\ln 2=\underset{1<x<2}{\int }\frac{\mathrm{d}x}{x},$ossia $\ln 2=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{x}.$

• Gli integrali ellittici come ad esempio i periodi delle funzioni ellittiche di Weierstrass di parametri algebrici g₂, g₃:

${\omega }_i=\underset{e_i}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{4t^3-g_{2}t-g_3}},i=1,2.$

• I valori interi della funzione zeta di Riemann, come

$\zeta (3)=\underset{0<x<y<z<1}{\iiint }\frac{\mathrm{d}xdydz}{(1-x)yz}.$

• La funzione gamma $\mathrm{\Gamma }(p/q{)}^q$ per p e q numeri naturali, come

$\mathrm{\Gamma }(1/3{)}^3=2^{4/3}{3}^{1/2}\pi \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^3}}.$

• Gli integrali della matrice S in meccanica quantistica sono periodi.

Caratteristiche

La somma e il prodotto di due periodi è anch'esso un periodo, perciò i periodi formano un anello.

Inclusione

I vari tipi di numeri sono costruiti per estensioni successive, partendo dai numeri naturali $\mathbb{N}$ fino ad arrivare ai complessi $ℂ$, ottenendo la sequenza classica

$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ.$

È possibile raffinare la sequenza introducendo i numeri algebrici $\bar{\mathbb{Q}}$, che sono tutti i numeri reali e complessi, non trascendenti, per cui

$\begin{array}{ccc}\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}& \subset & \mathbb{Q}\subset \bar{\mathbb{Q}}\\ & & \cap \cap \\ & & ℝ\subset ℂ\end{array}$

Tutti i tipi di numeri fino agli algebrici (prima riga), sono numerabili, mentre quelli della seconda, che include i trascendenti, non lo sono.

I periodi, invece sono numerabili pur includendo alcuni trascendenti come $\pi$, e quindi sono inclusi nei complessi.

Se è facile riuscire a rappresentare dei complessi, anche trascendenti, come periodi, è difficile trovare dei numeri che sicuramente non siano periodi. La costante di Nepero e, è un numero trascendente che potrebbe non essere un periodo.

Nel 2008, Masahiko Yoshinaga ha scoperto come produrre un reale computabile che non sia un periodo.

Bibliografia

• Template:Cita web
• Template:Cita web
• Template:Cita web
• Template:Cita web
• Template:Cita web
• Matthew von Hippel, Il codice delle particelle, Le Scienze n. 607, marzo 2019

Voci correlate

• Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer
• Equazion di Picard-Fuchs
• Funzione L