Equazione di Picard-Fuchs

In matematica, per equazione di Picard-Fuchs si intende una equazione differenziale ordinaria lineare le cui soluzioni descrivono i periodi delle curve ellittiche. Prende il suo nome dai matematici Émile Picard e Lazarus Immanuel Fuchs.

In geometria algebrica questa equazione è un caso molto speciale del fenomeno generale della connessione di Gauss-Manin.

Definizione

Sia:

$j=\frac{g_2^3}{g_2^3-27g_3^2}$

il j-invariante con $g_2$ e $g_3$ invarianti modulari della curva ellittica nella forma di Weierstrass:

$y^2=4x^3-g_{2}x-g_3$

Si osserva che il j-invariante è un isomorfismo dalla superficie di Riemann $H/\mathrm{\Gamma }$ alla sfera di Riemann $ℂ\cup \{\mathrm{\infty }\}$, dove $H$ denota il semipiano superiore e $\mathrm{\Gamma }$ il gruppo modulare. Con tali notazioni l'equazione di Picard-Fuchs ha la forma:

$\frac{d^{2}y}{d{j}^2}+\frac{1}{j}\frac{dy}{dj}+\frac{31j-4}{144j^2(1-j{)}^2}y=0$

Servendosi della Q-forma si ottiene:

$\frac{d^{2}f}{d{j}^2}+\frac{1-1968j+2654208j^2}{4j^2(1-1728j{)}^2}f=0$

Soluzioni

L'equazione si può porre in forma di equazione differenziale ipergeometrica, e due sue soluzioni linearmente indipendenti sono chiamate periodi delle funzioni ellittiche. Il rapporto dei due periodi è $\tau$, la coordinata standard per il semipiano superiore.

L'equazione di Picard-Fuchs si può porre nella forma di equazione differenziale di Riemann, e di conseguenza le sue soluzioni possono essere lette direttamente in termini di funzioni P di Riemann. Si ottiene:

$y(j)=P\left\{\begin{array}{cccc}0& 1& \mathrm{\infty }& \\ 1/6& 1/4& 0& j\\ -1/6& 3/4& 0& \end{array}\right\}$

Identità

Questa soluzione soddisfa l'equazione differenziale:

$(S\tau )(j)=\frac{3}{8(1-j)}+\frac{4}{9j^2}+\frac{23}{72j(1-j)}$

dove $(Sf)(x)$ denota la derivata schwarziana di $f$ rispetto a $x$.

Bibliografia

• Template:En J. Harnad and J. McKay, Modular solutions to equations of generalized Halphen type, Proc. R. Soc. London A 456 (2000), 261-294
• Template:En J. Harnad, Integrability: The Seiberg-Witten and Witham Equation, H.W. Braden and I.M. Krichever, Gordon and Breach, Amsterdam (2000)

Voci correlate

• Connessione di Gauss-Manin
• Derivata schwarziana