Equazioni di Hamilton

Le equazioni di Hamilton, nella fisica e in particolare nella riformulazione della meccanica classica sviluppata dalla meccanica hamiltoniana, sono l'equazione del moto per un sistema fisico, scritta a partire da una funzione chiamata hamiltoniana. Determinano l'evoluzione temporale del sistema dinamico in modo equivalente alla legge di Newton e alle equazioni di Eulero-Lagrange, di cui sono una riscrittura ottenuta in seguito ad un particolare cambio di variabili.

Le equazioni

L'hamiltoniana $\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)$ di un sistema dinamico è una funzione definita nello spazio delle fasi ${ℝ}^{2n}$ composto dalle coordinate generalizzate $𝐪=(q_1,\dots q_n)\in {ℝ}^n$ e dai rispettivi momenti coniugati:

$𝐩=\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{𝐪}}$

dove $ℒ(𝐪,\dot{𝐪},t)$ è la lagrangiana. L'hamiltoniana viene solitamente associata all'energia totale del sistema, somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale. In alcuni casi, per esempio quando agiscono forze non conservative, è necessario fare uso dei cosiddetti potenziali generalizzati e l'hamiltoniana perde il significato fisico di energia totale del sistema.

Le equazioni di Hamilton sono un sistema di equazioni differenziali che forniscono l'evoluzione temporale del sistema:

${\dot{p}}_j=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_j}{\dot{q}}_j=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_j}$

ovvero:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}𝐩(t)=-\frac{\partial }{\partial 𝐪}\mathscr{H}(𝐪(t),𝐩(t),t)$

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}𝐪(t)=\frac{\partial }{\partial 𝐩}\mathscr{H}(𝐪(t),𝐩(t),t)$

Le equazioni di Hamilton sono simmetriche rispetto a $p_j=p_j(t)$ e $q_j=q_j(t)$, e pertanto scambiare $\pm q$ con $\mp p$ e $\pm \dot{q}$ con $\mp \dot{p}$ le lascia invariate.

Derivazione

Dato un sistema che ha n gradi di libertà descritto da una lagrangiana $ℒ(𝐪,\dot{𝐪},t)$, l'equazione di Newton per il suo moto è equivalente alle equazioni di Eulero-Lagrange:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial ℒ}{\partial q_i}=0$

Si può formulare lo stesso problema prendendo come variabili indipendenti le coordinate generalizzate $q_1,\dots ,q_n$ ed i momenti generalizzati $𝐩=(p_1,\dots ,p_n)$, definiti da $p_i=\partial ℒ/\partial {\dot{q}}_i$. In tale contesto, la trasformata di Legendre della Lagrangiana produce la funzione hamiltoniana:

$\mathscr{H}=\sum _i{\dot{q}}_i\frac{\partial ℒ}{\partial {\dot{q}}_i}-ℒ=\sum _i{\dot{q}}_i{p}_i-ℒ$

In una dimensione la trasformata si ottiene scrivendo il differenziale di $ℒ(q,\dot{q},t)$:

$\mathrm{d}ℒ=\frac{\partial ℒ}{\partial q}\mathrm{d}q+\frac{\partial ℒ}{\partial \dot{q}}\mathrm{d}\dot{q}+\frac{\partial ℒ}{\partial t}\mathrm{d}t=\dot{p}\mathrm{d}q+p\mathrm{d}\dot{q}+\frac{\partial ℒ}{\partial t}\mathrm{d}t=\dot{p}\mathrm{d}q+(\mathrm{d}(\dot{q}p)-\dot{q}\mathrm{d}p)+\frac{\partial ℒ}{\partial t}\mathrm{d}t$

da cui:

$\mathrm{d}(\dot{q}p-ℒ)=-\dot{p}\mathrm{d}q+\dot{q}\mathrm{d}p-\frac{\partial ℒ}{\partial t}\mathrm{d}t$

La lagrangiana viene così trasformata in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a $𝐪$, cioè da $𝐩$.

Dato il differenziale di $\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)$:

$\mathrm{d}\mathscr{H}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q}\mathrm{d}q+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p}\mathrm{d}p+\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}\mathrm{d}t$

confrontandolo con la precedente espressione della trasformata di Legendre:

$\mathscr{H}(𝐪,𝐩,t)=\dot{𝐪}(t)𝐩(t)-ℒ(𝐪,\dot{𝐪},t)$

si ottengono le equazioni di Hamilton:

$\dot{𝐪}=\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial 𝐩}\dot{𝐩}=-\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial 𝐪}$

Se una coordinata è una coordinata ciclica per la lagrangiana, ovvero è una coordinata da cui la lagrangiana non dipende direttamente, allora essa è ciclica anche per l'Hamiltoniana. In particolare se lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo allora $\mathscr{H}$ stessa è una costante del moto:

$\frac{d\mathscr{H}}{dt}=-\frac{\partial ℒ}{\partial t}=0$

Principio variazionale di Hamilton

Template:Vedi anche Le equazioni di Hamilton si possono ricavare dal principio variazionale di Hamilton (principio di minima azione):

$\delta I=\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}ℒdt=\delta \underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}(\sum _{i=1}^n{\dot{q}}_i{p}_i-\mathscr{H}(q,p,t))dt=0$

dove l'integrale della lagrangiana nel tempo è l'azione:

$I=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}ℒdt$

Il principio stabilisce che il moto del sistema tra gli istanti iniziale $t_1$ e finale $t_2$ deve rendere stazionario l'integrale variazionale azione tra $t_1$ e $t_2$, il che significa che l'azione ha un estremo in corrispondenza della traiettoria seguita dal sistema, tra tutte quelle possibili nell'intervallo di tempo considerato.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:It G. Andreassi Meccanica Hamiltoniana classica Template:Webarchive Quaderni del Dipartimento di Matematica dell'Università di Lecce, 14/1978.
• Template:It A. Fasano, S. Marmi, Meccanica Analitica, (2002) Bollati Boringhieri, Torino ISBN 88-339-5681-4
• Template:En Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X
• Template:En Edmund T. Whittaker A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies; with an introduction to the problem of three bodies (Cambridge University Press, 1917)
• Template:En William Fogg Osgood Mechanics (MacMillan, 1937)
• Template:En Arthur Gordon Webster The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies. Being lectures on mathematical physics (Teubner, 1904)

Voci correlate

• Costante del moto
• Calcolo delle variazioni
• Lagrangiana
• Meccanica hamiltoniana
• Meccanica lagrangiana
• Metodo variazionale
• Principio di Fermat
• Principio di Maupertuis
• Principio variazionale di Hamilton
• Teoria di Hamilton-Jacobi
• Trasformata di Legendre
• William Rowan Hamilton

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:EnTemplate:Cita pubblicazione
• Template:Cita web
• Template:Cita web
• Template:En Rychlik, Marek, "Lagrangian and Hamiltonian mechanics -- A short introduction"
• Template:En Binney, James, "Classical Mechanics" (PostScript) lecture notes (PDF)
• Template:En Tong, David, Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)