Matrice nilpotente

In algebra lineare una matrice quadrata $A$ si dice nilpotente se esiste un intero non negativo $n$ tale che

$A^n=0.$

Il più piccolo $n$ per cui questo è vero è detto ordine (o indice) di nilpotenza di $A.$

Una matrice nilpotente ha tutti gli autovalori nulli, infatti, sia $\lambda$ un autovalore di $A$, allora esiste un vettore $𝐯\ne \mathrm{𝟎}$ (un autovettore di $A$) tale che $A𝐯=\lambda 𝐯$, da cui:

$A^n𝐯={\lambda }^n𝐯=\mathrm{𝟎},$

siccome $𝐯\ne \mathrm{𝟎}$, questo accade quando:

${\lambda }^n=0,$

da cui segue $\lambda =0.$ Di conseguenza una matrice nilpotente ha traccia e determinante nulli.

Esempi

La matrice

$M=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 0\end{array}\right]$

è nilpotente, infatti:

$M^2=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 2& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right]=0.$

Anche la matrice seguente è nilpotente:

$M=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 2& 2& 0& 0\\ 4& 3& 1& 0\end{array}\right],$

infatti:

$M^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 2& 0& 0& 0\\ 5& 2& 0& 0\end{array}\right];$

$M^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 2& 0& 0& 0\end{array}\right];$

$M^4=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

Il blocco di Jordan di ordine $q$ associato all'autovalore $0$ è una matrice nilpotente con ordine di nilpotenza $q$:

$J=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right].$

In generale, tutte le matrici triangolari $n\times n$ con ogni elemento sulla diagonale principale uguale a $0,$ sono nilpotenti di ordine $n$.

Non è vero però che le matrici nilpotenti siano necessariamente triangolari. Ad esempio, la seguente matrice $3\times 3$ non è triangolare ma è nilpotente di ordine $2$:

$M=\left[\begin{array}{ccc}0& 3& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 9& 0\end{array}\right],$

infatti:

$M^2=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right].$

Proprietà

Ordine di nilpotenza

Se $A$ è una matrice di ordine $n$ nilpotente di ordine $k$, allora $1\le k\le n$.

Dimostrazione

Siccome $A$ è nilpotente di ordine $k$ si ha $A^k=0$, per il teorema di Hamilton-Cayley si ha che $A$ soddisfa il suo polinomio caratteristico ${\chi }_A(t)$. Siccome $\mathrm{deg}({\chi }_A(t))=n$ e $A^k=0$ si ha ${\chi }_A(t)=t^n$ e $A^n=0$ (per Hamilton-Cayley), e quindi $1\le k\le n$.

Matrici simili e nilpotenti

Tutte le matrici simili a una matrice nilpotente sono a loro volta nilpotenti.

Dimostrazione

Si considerino due matrici simili $A$ e $B$ con $A$ nilpotente di ordine $n.$ In quanto simili, esiste una matrice invertibile $P$ tale che $B=P^{-1}AP$. Allora

$B^n=(P^{-1}AP)(P^{-1}AP)\cdots (P^{-1}AP)$

$=P^{-1}A(P{P}^{-1})A(P{P}^{-1})\cdots (P{P}^{-1})AP$

$=P^{-1}{A}^{n}P=P^{-1}0P=0.$

Quindi anche $B$ è nilpotente.

Endomorfismi nilpotenti

Consideriamo uno spazio vettoriale $V$, definito su un campo e di dimensione $n$, e sia $f:V\to V$ un endomorfismo, allora possiamo rappresentare $f$ tramite una matrice quadrata di ordine $n$, sia essa $A$. Diciamo che $f$ è un endomorfismo nilpotente di ordine $k$ se e solo se lo è la matrice rappresentativa $A$.

Bibliografia

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