Teorema di Bohr-Mollerup

In analisi matematica, il teorema di Bohr-Mollerup è un teorema che prende il nome dai matematici danesi Harald Bohr e Johannes Mollerup, che lo dimostratono nel 1922. Il teorema caratterizza la funzione Gamma, definita per $x>0$ da

$\mathrm{\Gamma }(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{x-1}{e}^{-t}dt$

come l'unica funzione $f$ sull'intervallo $x>0$ che, simultaneamente, possiede le seguenti tre proprietà:

• $f(1)=1$,
• $f(x+1)=xf(x)$ per $x>0$,
• $f$ è logaritmicamente convessa, ossia il suo logaritmo è una funzione convessa

Un'elegante trattazione su questo teorema può essere trovata nel libro di Artin The Gamma Function, che è stato ristampato dall'AMS (American Mathematicl Society) in una collezione di scritti di Artin.

Il teorema venne prima pubblicato in un manuale di analisi complessa, poiché Bohr e Mollerup ritenevano che fosse già stato dimostrato.

Enunciato

Teorema di Bohr-Mollerup. $\mathrm{\Gamma }(x)$ è l'unica funzione che soddisfa $f(x+1)=xf(x)$ con $\log f(x)$ convessa ed anche con $f(1)=1$.

Dimostrazione

Sia $\mathrm{\Gamma }(x)$ una funzione con le proprietà stabilite sopra: $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$, $\log \mathrm{\Gamma }(x)$ è una funzione convessa e $\mathrm{\Gamma }(1)=1$. Da $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$ noi possiamo dire che

$\mathrm{\Gamma }(x+n)=(x+n-1)(x+n-2)(x+n-3)\cdots (x+1)x\mathrm{\Gamma }(x)$

Lo scopo di aver imposto che $\mathrm{\Gamma }(1)=1$ è far sì che la proprietà $\mathrm{\Gamma }(x+1)=x\mathrm{\Gamma }(x)$ ci riconduca ai fattoriali dei numeri interi, in modo da poter concludere che $\mathrm{\Gamma }(n)=(n-1)!$ se $n\in N$ e se $\mathrm{\Gamma }(x)$ esiste ovunque. Grazie alla relazione scritta per $\mathrm{\Gamma }(x+n)$, se riusciamo a comprendere completamente il comportamento di $\mathrm{\Gamma }(x)$ per $0<x⩽1$, possiamo comprendere il comportamento di $\mathrm{\Gamma }(x)$ per tutti i valori reali di $x$.

La pendenza del segmento che congiunge due punti $(x_1,f(x_1))$ e $(x_2,f(x_2))$, indichiamola con $S(x_1,x_2)$, è strettamente crescente per una funzione convessa con $x_1<x_2$. Poiché abbiamo imposto che $\log \mathrm{\Gamma }(x)$ è convessa, noi sappiamo che

$\begin{array}{cccc}S(n-1,n)& \le S(n,n+x)\le S(n,n+1)& & 0<x\le 1\\ [6pt]\frac{\log (\mathrm{\Gamma }(n))-\log (\mathrm{\Gamma }(n-1))}{n-(n-1)}& \le \frac{\log (\mathrm{\Gamma }(n))-\log (\mathrm{\Gamma }(n+x))}{n-(n+x)}\le \frac{\log (\mathrm{\Gamma }(n))-\log (\mathrm{\Gamma }(n+1))}{n-(n+1)}\\ [6pt]\frac{\log ((n-1)!)-\log ((n-2)!)}{1}& \le \frac{\log (\mathrm{\Gamma }(n+x))-\log ((n-1)!)}{x}\le \frac{\log (n!)-\log ((n-1)!)}{1}\\ [6pt]\log \left(\frac{(n-1)!}{(n-2)!}\right)& \le \frac{\log (\mathrm{\Gamma }(n+x))-\log ((n-1)!)}{x}\le \log \left(\frac{n!}{(n-1)!}\right)\\ [6pt]\log (n-1)& \le \frac{\log (\mathrm{\Gamma }(n+x))-\log ((n-1)!)}{x}\le \log (n)\\ x\log (n-1)& \le \log (\mathrm{\Gamma }(n+x))-\log ((n-1)!)\le x\log (n)\\ \log ((n-1{)}^x)+\log ((n-1)!)& \le \log (\mathrm{\Gamma }(n+x))\le \log \left(n^x\right)+\log ((n-1)!)\\ \log ((n-1{)}^x(n-1)!)& \le \log (\mathrm{\Gamma }(n+x))\le \log (n^x(n-1)!)\\ (n-1{)}^x(n-1)!& \le \mathrm{\Gamma }(n+x)\le n^x(n-1)!& & \log \text{è strettamente crescente}\\ [6pt](n-1{)}^x(n-1)!& \le (x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x\mathrm{\Gamma }(x)\le n^x(n-1)!\\ [6pt]\frac{(n-1{)}^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}& \le \mathrm{\Gamma }(x)\le \frac{n^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}\\ [6pt]\frac{(n-1{)}^x(n-1)!}{(x+n-1)(x+n-2)\cdots (x+1)x}& \le \mathrm{\Gamma }(x)\le \frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}\left(\frac{n+x}{n}\right)\\ [6pt]\end{array}$

L'ultima riga è un'affermazione forte. In particolare, essa è vera per tutti i valori di $n$. Questo significa che $\mathrm{\Gamma }(x)$ non è maggiore rispetto al membro di destra per ogni scelta di $n$ e, allo stesso modo, $\mathrm{\Gamma }(x)$ non è minore rispetto al membro di sinistra per ogni altra scelta di $n$. Ogni singola disuguaglianza non è correlata all'altra e può essere interpretata come un'affermazione indipendente. A causa di ciò, noi siamo liberi di scegliere dei valori differenti di $n$ per il membro di destra e per il membro di sinistra. In particolare, se noi lasciamo $n$ per il membro di destra e scegliamo $n+1$ per quello di sinistra, abbiamo:

$\begin{array}{cc}\frac{((n+1)-1{)}^x((n+1)-1)!}{(x+(n+1)-1)(x+(n+1)-2)\cdots (x+1)x}& \le \mathrm{\Gamma }(x)\le \frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}\left(\frac{n+x}{n}\right)\\ \frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}& \le \mathrm{\Gamma }(x)\le \frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}\left(\frac{n+x}{n}\right)\end{array}$

Da quest'ultima riga è evidente che si sta delimitando una funzione tra due espressioni, una tecnica comune in analisi per dimostrare varie cose come l'esistenza di un limite, o una convergenza. Sia $n\to \mathrm{\infty }$:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+x}{n}=1$

così il membro di sinistra dell'ultima disuguaglianza tende a diventare uguale al membro di destra, quando si passa al limite, e

$\frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}$

rappresenta la delimitazione a entrambi i membri. Ciò può solo significare che

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}=\mathrm{\Gamma }(x).$

Nel contesto di questa dimostrazione, ciò significa che

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}$

possiede le tre proprietà specificate, che appartengono a $\mathrm{\Gamma }(x)$. In più, la dimostrazione fornisce un'espressione specifica per $\mathrm{\Gamma }(x)$. La parte finale di questa dimostrazione consiste nel ricordare che il limite di una successione è unico. Ciò significa che, per ogni scelta di $0<x⩽1$, un solo numero possibile $\mathrm{\Gamma }(x)$ può esistere. Perciò, non c'è un'altra funzione con tutte le proprietà assegnate a $\mathrm{\Gamma }(x)$.

Resta da dimostrare solo che $\mathrm{\Gamma }(x)$ ha senso per tutti gli $x$ per i quali

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}$

esiste. Il problema è che la nostra prima doppia disuguaglianza

$S(n-1,n)\le S(n+x,n)\le S(n+1,n)$

è stata costruita con la restrizione $0<x⩽1$. Se $x>1$, allora il fatto che $S$ è strettamente crescente farebbe sì che $S(n+1,n)<S(n+x,n)$, contraddicendo la disuguaglianza su cui l'intera dimostrazione è costruita. Ma osserviamo che

$\begin{array}{cc}\mathrm{\Gamma }(x+1)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }x\cdot \left(\frac{n^{x}n!}{(x+n)(x+n-1)\cdots (x+1)x}\right)\frac{n}{n+x+1}\\ \mathrm{\Gamma }(x)& =\left(\frac{1}{x}\right)\mathrm{\Gamma }(x+1)\end{array}$

e ciò mostra come prolungare $\mathrm{\Gamma }(x)$ a tutti i valori di $x$ per i quali il limite è definito.

Bibliografia

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Bohr-Mollerup_theorem&oldid=12494 , Encyclopedia of Mathematics, Springer Science, ISBN 978-1-55608-010-4
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Voci correlate

• Funzione Gamma
• Funzione logaritmicamente convessa

Collegamenti esterni

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