Equazione biarmonica

In matematica, l'equazione biarmonica è un'equazione differenziale alle derivate parziali del quarto ordine utilizzata frequentemente nella meccanica del continuo. Una soluzione dell'equazione biarmonica è detta funzione biarmonica; ogni funzione biarmonica è una funzione armonica, ma non vale il viceversa.

L'equazione

L'equazione biarmonica ha la forma:

${\mathrm{\nabla }}^4\phi =0$

oppure:

${\mathrm{\nabla }}^2{\mathrm{\nabla }}^2\phi =0$

o anche:

${\mathrm{\Delta }}^2\phi =0$

dove ${\mathrm{\nabla }}^4$ è la quarta potenza dell'operatore nabla, cioè il quadrato del laplaciano ${\mathrm{\nabla }}^2$ (indicato anche con $\mathrm{\Delta }$). Un tale operatore differenziale è anche detto operatore bilaplaciano o operatore biarmonico. In una diversa notazione può essere scritto in $n$ dimensioni come:

${\mathrm{\nabla }}^4\phi =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n{\partial }_i{\partial }_i{\partial }_j{\partial }_j\phi$

Ad esempio, nel caso tridimensionale e in coordinate cartesiane:

$\frac{{\partial }^4\phi }{\partial x^4}+\frac{{\partial }^4\phi }{\partial y^4}+\frac{{\partial }^4\phi }{\partial z^4}+2\frac{{\partial }^4\phi }{\partial x^2\partial y^2}+2\frac{{\partial }^4\phi }{\partial y^2\partial z^2}+2\frac{{\partial }^4\phi }{\partial x^2\partial z^2}=0$

Un altro esempio in $n$ dimensioni si trova considerando:

${\mathrm{\nabla }}^4\left(\frac{1}{r}\right)=\frac{3(15-8n+n^2)}{r^5}$

dove:

$r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$

Per i soli valori $n=3$ e $n=5$ diventa l'equazione biarmonica.

Equazione in due dimensioni

In coordinate polari bidimensionali l'equazione biarmonica assume la forma:

$\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r\frac{\partial \phi }{\partial r}\right)\right)\right)+\frac{2}{r^2}\frac{{\partial }^4\phi }{\partial {\theta }^2\partial r^2}+\frac{1}{r^4}\frac{{\partial }^4\phi }{\partial {\theta }^4}-\frac{2}{r^3}\frac{{\partial }^3\phi }{\partial {\theta }^2\partial r}+\frac{4}{r^4}\frac{{\partial }^2\phi }{\partial {\theta }^2}=0$

e può essere risolta tramite separazione delle variabili, ottenendo la soluzione di Michell.

La soluzione generale in due dimensioni è:

$xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)$

dove $u(x,y)$, $v(x,y)$ e $w(x,y)$ sono funzioni armoniche e $v(x,y)$ è il coniugato armonico di $u(x,y)$.

La forma generale per una funzione biarmonica in due variabili si può scrivere anche come:

$\mathrm{Im}(\overline{z}f(z)+g(z))$

dove $f(z)$ e $g(z)$ sono funzioni analitiche.

Bibliografia

• Template:En Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
• Template:En S I Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering, Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5.
• Template:Cita libro

Voci correlate

• Equazione di Laplace
• Funzione armonica
• Operatore di Laplace
• Teoria del potenziale

Collegamenti esterni

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