Derivata esterna

In geometria differenziale, la derivata esterna estende il concetto di differenziale di una funzione a forme differenziali di ordine maggiore. La forma attualmente usata della derivata esterna è dovuta ad Élie Cartan.

Definizione

La derivata esterna di una forma differenziale di grado $k$ è una forma differenziale di grado $k+1$.

Derivata esterna di una funzione

Sia $f$ una funzione liscia (cioè una 0-forma). La derivata esterna di $f$ è il differenziale $df$ di $f$, ovvero l'unica uno-forma tale che per ogni campo vettoriale $X$ si abbia $df(X)=Xf$, dove $Xf$ è la derivata direzionale di $f$ in direzione $X$.

Derivata esterna di una k-forma

La derivata esterna è definita come l'unica trasformazione lineare a valori reali che mappa k-forme in (k+1)-forme tale da soddisfare le seguenti proprietà:

• $df$ è il differenziale di $f$ per $f$ funzione liscia.
• $d(df)=0$ per ogni funzione liscia $f$.
• $d(\alpha \wedge \beta )=d\alpha \wedge \beta +(-1{)}^p\alpha \wedge d\beta$, con $\alpha$ una p-forma.

La seconda proprietà vale in un contesto più generale, poiché $d(d\alpha )=0$ per ogni k-forma $\alpha$, mentre la terza implica, come caso particolare, che se $f$ è una funzione e $\alpha$ una k-forma allora $d(f\alpha )=df\wedge \alpha +f\wedge d\alpha$ poiché le funzioni sono forme di grado zero.

Derivata esterna in coordinate locali

In un sistema di coordinate locale $(x^1,\dots ,x^n)$ si considerino i differenziali $(d{x}^1,\dots ,d{x}^n)$, che costituiscono un insieme di uno-forme. Dato un insieme di indici $I=(i_1,\dots ,i_k)$, con $1\le i_p\le n$ e $1\le p\le k$, la derivata esterna di una k-forma:

$\omega =f_I\text{d}{x}^I=f_{i_1,i_2\cdots i_k}\text{d}{x}^{i_1}\wedge \text{d}{x}^{i_2}\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^{i_k}$

su ${ℝ}^n$ è definita nel modo seguente:

$\text{d}\omega =\sum _{i=1}^n\frac{\partial f_I}{\partial x^i}\text{d}{x}^i\wedge \text{d}{x}^I$

Per una generica k-forma:

$\omega =\sum _I{f}_{I}d{x}_I$

con $I=(i_1,\dots ,i_n)$, la definizione è estesa per linearità.

La definizione mostrata in coordinate locali segue dalla definizione precedente. Infatti, sia:

$\omega =f_I\text{d}{x}_{i_1}\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}_{i_k}$

allora si ha:

$\text{d}\omega =\text{d}(f_I\text{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^{i_k})$

$=\text{d}{f}_I\wedge (\text{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^{i_k})+f_I\text{d}(\text{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^{i_k})$

$=\text{d}{f}_I\wedge \text{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^{i_k}+\sum _{p=1}^k(-1{)}^{(p-1)}{f}_I\text{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^{i_{p-1}}\wedge {\text{d}}^2{x}^{i_p}\wedge \text{d}{x}^{i_{p+1}}\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^{i_k}$

$=\text{d}{f}_I\wedge \text{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^{i_k}$

$=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f_I}{\partial x^i}\text{d}{x}^i\wedge \text{d}{x}^{i_1}\wedge \cdots \wedge \text{d}{x}^{i_k}$

dove $f_I$ è interpretata come una zero-forma, alla quale sono applicate le proprietà della derivata esterna.

Formula invariante

Si può trovare una formula esplicita per la derivata esterna di una k-forma $\omega$ quando si considerano k+1 campi vettoriali lisci $V_0,...,V_k$:

$\text{d}\omega (V_0,...,V_k)=\sum _i(-1{)}^i{V}_i(\omega (V_0,\dots ,{\hat{V}}_i,\dots ,V_k))$

$+\sum _{i<j}(-1{)}^{i+j}\omega ([V_i,V_j],V_0,\dots ,{\hat{V}}_i,\dots ,{\hat{V}}_j,\dots ,V_k)$

dove $[V_i,V_j]$ sono le parentesi di Lie, e il cappello denota l'omissione di un dato elemento:

$\omega (V_1,\dots ,{\hat{V}}_i,\dots ,V_k)=\omega (V_1,\dots ,V_{i-1},V_{i+1},\dots ,V_k)$

In particolare, per 1-forme si ha:

$d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])$

dove $X$ e $Y$ sono campi vettoriali.

La derivata esterna nel calcolo vettoriale

Diversi operatori utilizzati nel calcolo vettoriale sono casi speciali della nozione di differenziazione esterna, o ne hanno una stretta relazione.

Gradiente

Template:Vedi anche Una funzione liscia $f:{ℝ}^n\to ℝ$ è una 0-forma. La sua derivata esterna è la 1-forma:

$\mathrm{d}f=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x^i}\mathrm{d}{x}^i=⟨\mathrm{\nabla }f,\cdot ⟩$

In altre parole, la forma $df$ agisce su ogni campo vettoriale $V$ restituendo in ogni punto il prodotto scalare di $V$ con il gradiente $\mathrm{\nabla }f$. La 1-forma $df$ è una sezione del fibrato cotangente che produce un'approssimazione lineare locale di $f$ nello spazio cotangente ad ogni punto.

Divergenza

Template:Vedi anche Un campo vettoriale $V=(v_1,...,v_n)$ su ${ℝ}^n$ possiede una corrispondente (n-1)-forma:

${\omega }_V=v_1(\mathrm{d}{x}^2\wedge \mathrm{d}{x}^3\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^n)-v_2(\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^3\cdots \wedge \mathrm{d}{x}^n)+\cdots +(-1{)}^{n-1}{v}_n(\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{n-1})$

$=\sum _{p=1}^n(-1{)}^{(p-1)}{v}_p(\mathrm{d}{x}^1\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^{p-1}\wedge \widehat{\mathrm{d}{x}^p}\wedge \mathrm{d}{x}^{p+1}\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^n)$

dove $\widehat{\mathrm{d}{x}^p}$ denota l'omissione di tale elemento. L'integrale di ${\omega }_V$ su un'ipersuperficie è il flusso di $V$ attraverso tale ipersuperficie.

La derivata esterna di tale (n-1)-forma è la n-forma:

$\mathrm{d}{\omega }_V=\mathrm{div}(V)(\mathrm{d}{x}^1\wedge \mathrm{d}{x}^2\wedge \cdots \wedge \mathrm{d}{x}^n)$

Rotore

Template:Vedi anche Un campo vettoriale $V$ su ${ℝ}^n$ possiede una corrispondente 1-forma:

${\eta }_V=v_1\mathrm{d}{x}^1+v_2\mathrm{d}{x}^2+\cdots +v_n\mathrm{d}{x}^n$

Localmente, ${\eta }_V$ è il prodotto interno con $V$, e l'integrale di ${\eta }_V$ lungo un cammino è il lavoro meccanico compiuto "contro" $-V$ lungo il cammino. Se n=3, la derivata esterna di ${\eta }_V$ è la 2-forma:

$\mathrm{d}{\eta }_V={\omega }_{\mathrm{rot}(V)}$

Bibliografia

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Voci correlate

• Atlante (topologia)
• Derivata direzionale
• Differenziale (matematica)
• Divergenza
• Forma differenziale
• Funzione liscia
• Gradiente
• Rotore (matematica)
• Trasformazione lineare

Collegamenti esterni

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