Quadricorrente

In fisica, in particolare in elettrodinamica, la quadricorrente è il quadrivettore Lorentz covariante la cui componente temporale è la densità di carica elettrica e quella spaziale è la densità di corrente elettrica.

Definizione

La quadricorrente è un quadrivettore definito come:

$J^a=(c\rho ,𝐣)=(c\rho ,j^1,j^2,j^3)$

dove $c$ è la velocità della luce, $\rho$ la densità di carica e $𝐣$ la densità di corrente, mentre $a$ denota le dimensioni spaziotemporali.

La quadricorrente può essere espressa in funzione della quadrivelocità $U^{\alpha }$ come:

$J^{\alpha }={\rho }_0{U}^{\alpha }=\rho \sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}{U}^{\alpha }$

dove la densità di carica $\rho$ è misurata da un osservatore fermo che vede muoversi la corrente elettrica, mentre ${\rho }_0$ è misurata da un osservatore posto nel sistema di riferimento in moto delle cariche, che si muove ad una velocità $u=\Vert 𝐮\Vert$ pari alla norma della componente spaziale di $U^{\alpha }$.

La quadricorrente può essere definita anche per una carica puntiforme $q$ in moto con legge oraria $\overrightarrow{z}(s)$ se si assume che la densità di carica ad essa associata sia:

$\rho (𝐱)=q{\delta }^{(3)}(𝐱-𝐳(s))$

dove il simbolo ${\delta }^{(3)}$ indica la distribuzione Delta di Dirac tridimensionale. In questo caso si ha che, detta $z^{\mu }(s)$ una componente della parametrizzazione della curva di universo della particella, la giusta definizione per la corrente ad essa associata è:

$J^{\mu }(x)=cq\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{d{z}^{\mu }(s)}{ds}{\delta }^{(4)}(x-z(s))ds$

In questa formula, le grandezze $x$ e $z$ vanno intese come quadrivettori, mentre $s$ è un parametro arbitrario.

In relatività generale la quadricorrente è definita come la divergenza del vettore spostamento elettromagnetico, dato da:

${𝒟}^{\mu \nu }=\frac{1}{{\mu }_0}{g}^{\mu \alpha }{F}_{\alpha \beta }{g}^{\beta \nu }\sqrt{-g}{J}^{\mu }={\partial }_{\nu }{𝒟}^{\mu \nu }$

Equazione di continuità

In relatività speciale la legge di conservazione della carica, che nel limite non relativistico è espressa dall'equazione di continuità, assume la seguente forma tensoriale:

${\partial }_{\alpha }\cdot J={\partial }_a{J}^a=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=0$

dove ${\partial }_{\alpha }$ è il quadrigradiente, dato da:

${\partial }_{\alpha }=(\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial t},\mathrm{\nabla }){\partial }_a{J}^a=\sum _{i=0}^3{\partial }_i{J}^i$

L'equazione di continuità si può scrivere anche come:

$J^a{}_{,a}=0$

dove $;$ denota la derivata covariante.

Bibliografia

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  • Vol II, par. 13.7: La trasformazione delle correnti e delle cariche
  • Vol II, par. 25-3: Il gradiente quadridimensionale

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Voci correlate

• Carica elettrica
• Corrente elettrica
• Densità di carica
• Densità di corrente
• Equazione di continuità
• Quadrigradiente
• Quadrivelocità
• Quadrivettore
• Spaziotempo di Minkowski

Collegamenti esterni

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