Teorema della palla pelosa

Una visualizzazione grafica del teorema della palla pelosa: non è possibile pettinare la palla senza lasciare punti singolari.

Una superficie toroidale è invece completamente pettinabile.

Il teorema della palla pelosa è un concetto della topologia algebrica secondo il quale non esiste un campo vettoriale continuo tangente a una sfera che non si annulli in qualche punto.

Espresso in termini euristici esso afferma, sostanzialmente, che «non è possibile pettinare completamente una palla pelosa» oppure «non è possibile pettinare i capelli di una palla da biliardo», i capelli pettinati rappresentando il campo vettoriale continuo: non è possibile, quindi, eseguire su una sfera una pettinatura che non abbia almeno una chierica o una riga.

La sua enunciazione formale è la seguente: data una sfera $S$ e una funzione continua $f:S\to {ℝ}^3$ che associa a ogni punto $P$ della sfera un vettore tridimensionale tangente alla sfera stessa in $P$, esiste almeno un punto della sfera $Q\in S$ tale che $f(Q)=0$.

Il teorema, dimostrato nel 1912 da Luitzen Brouwer, può essere visto come un caso particolare del Teorema di Poincaré-Hopf, che asserisce che la somma degli zeri di determinati campi vettoriali su una superficie è pari alla caratteristica di Eulero di tale superficie: poiché la caratteristica di Eulero della sfera è 2, il campo deve possedere almeno uno zero; una superficie a caratteristica zero, come il toro, è invece «pettinabile». In questo contesto più ampio il teorema della palla pelosa costituisce un esempio di legame tra le proprietà topologiche di una superficie (la caratteristica di Eulero) e quelle analitiche (i campi vettoriali su di essa). Esistono tuttavia numerose altre dimostrazioni, ad esempio a partire dal lemma di Sperner.

Applicazioni

Il teorema della palla pelosa ha applicazioni non solo in ambito matematico, ma anche in alcuni campi della fisica e della tecnologia.

Punti fissi e antipodali

Una conseguenza del teorema della palla pelosa è che qualunque funzione continua che mappa la sfera in sé stessa ha necessariamente un punto che viene mappato su sé stesso (punto fisso) o sul proprio punto antipodale:

$\mathrm{\forall }f:S\to S\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{u}\mathrm{a},\mathrm{\exists }P\in S:f(P)=\pm P$.

La dimostrazione di questa proprietà si ottiene associando alla funzione continua una funzione vettoriale tangente nel seguente modo: preso un punto $P$ sulla sfera, si costruisce la proiezione stereografica di $f(P)$ usando $P$ come polo della proiezione, e si prende come vettore tangente $𝐯(P)$ il vettore posizione della proiezione rispetto a $P$.

I vettori tangenti così costruiti definiscono una funzione continua che rispetta le ipotesi del teorema: quindi esiste un punto $P$ della sfera tale che $𝐯(P)=0$; questo implica che $f(P)$ coincide con $P$, oppure si trova al suo antipodo.

Meteorologia

La circolazione atmosferica di un pianeta può essere rappresentata con un modello che assegna a ogni punto della superficie un vettore tangente alla superficie stessa e avente la direzione del vento; questa approssimazione equivale a trascurare la componente verticale del vento, condizione accettabile dato che il diametro del pianeta è significativamente maggiore dello spessore dell'atmosfera.

Tranne il caso banale in cui il vento è fermo su tutto il pianeta, il campo vettoriale così definito rispetta le ipotesi del teorema della palla pelosa; segue che esiste almeno un punto della superficie in cui il vento ha velocità nulla: questi punti corrispondono all'occhio di un ciclone o di un anticiclone. Il teorema garantisce quindi che sulla superficie di un pianeta dotato di atmosfera esiste sempre almeno un ciclone.

Computer grafica

Un problema comune in computer grafica è la generazione di un vettore non nullo ortogonale ad un altro vettore dato. Se consideriamo il vettore di partenza come posizionato sul raggio di una sfera, i vettori ortogonali sono tangenti alla sfera stessa; dal teorema della palla pelosa segue che non esiste una funzione continua in grado di risolvere il problema per qualunque vettore di partenza, ossia per tutti i punti della sfera.

Estensioni del teorema

Il teorema può essere esteso a sfere in dimensioni superiori: si può dimostrare che esso è valido per tutte le $2n$-sfere, in dimensione pari. Questa proprietà è facilmente derivabile tramite la caratteristica di Eulero: quest'ultima infatti si può ottenere come somma alternata dei numeri di Betti della $m$-sfera, che valgono 0 tranne che per le dimensioni $0$ ed $m$, per cui la caratteristica di Eulero vale 2 se $m$ è pari, perché i due termini non nulli hanno lo stesso segno, 0 se $m$ è dispari.

Bibliografia

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