Teorema di Poincaré-Hopf

Nella matematica, il teorema di Poincaré–Hopf (anche conosciuto come formula dell'indice di Poincaré–Hopf) è un importante teorema utilizzato nella topologia differenziale. Il suo nome deriva da Henri Poincaré e Heinz Hopf.

Un caso speciale della formula è il teorema della palla pelosa, che semplicemente afferma che non esiste un campo vettoriale non nullo continuo tangente a una sfera.

Enunciato

Sia $M$ una varietà differenziabile di dimensione $n$, e $v$ un campo vettoriale su $M$. Si supponga che $x$ sia un punto critico isolato di $v$, e si fissino delle coordinate locali vicino a $x$. Sia D una palla chiusa centrata in $x$, tale che $x$ sia l'unico zero di $v$ in $D$. Successivamente si definisce l'indice di $v$ in $x$, ${\mathrm{index}}_x(v)$, come il grado topologico della mappa $u:\partial D\to S^{n-1}$ dalla frontiera di $D$ alla (n-1)-sfera e data da $u(z)=v(z)/|v(z)|$.

Teorema. Sia $M$ una varietà differenziabile compatta. Sia $v$ un campo vettoriale su $M$ con zeri isolati. Se $M$ ha la frontiera, $v$ deve essere diretto normalmente e uscente rispetto alla frontiera. Allora vale la seguente formula

$\sum _i{\mathrm{index}}_{x_i}(v)=\chi (M)$

dove la somma degli indici è su tutti gli zeri isolati di $v$ e $\chi (M)$ è la caratteristica di Eulero di $M$. Un corollario particolarmente utile è che un campo vettoriale che non si annulla mai implica che la caratteristica di Eulero è 0.

Questo teorema fu dimostrato in due dimensioni da Henri Poincaré e successivamente generalizzato da Heinz Hopf.

Significato e importanza

La caratteristica di Eulero di una superficie chiusa è un concetto puramente topologico, mentre l'indice di un campo vettoriale è puramente analitico. Perciò, questo teorema stabilisce un profondo collegamento tra due aree della matematica apparentemente non correlate. È particolarmente interessante che la dimostrazione del teorema si basa fortemente sull'integrale, e in particolare sul teorema di Stokes, il quale afferma che l'integrale della derivata esterna di una forma differenziale è uguale all'integrale sulla frontiera di tale forma. Nel caso speciale di una varietà senza frontiera, è equivalente ad affermare che l'integrale è 0. Ma esaminando i campi vettoriali in un intorno sufficientemente piccolo di una "sorgente" o di un "pozzo", si nota che essi contribuiscono al totale con quantità intere (gli indici), e la loro somma totale deve essere zero. Questo risultato può essere considerato come uno dei primi di una lunga serie di teoremi che stabiliscono un legame profondo tra concetti geometrici e analitici o fisici, giocando un ruolo importante nello studio moderno di entrambi i campi.

Schema della dimostrazione

1. Si immerge $M$ in un qualche spazio euclideo di dimensione sufficiente (Usando il teorema di immersione di Whitney.)

2. Si prende un piccolo intorno di $M$ nello spazio euclideo, $N_{ϵ}$. Si estende il campo vettoriale a questo intorno in modo che abbia gli stessi zeri e stessi indici. Inoltre, ci si assicura che il campo vettoriale sulla frontiera di $N_{ϵ}$ sia diretto verso l'esterno.

3. La somma degli indici del vecchio (e nuovo) campo vettoriale è uguale al grado della mappa di Gauss dalla frontiera di $N_{ϵ}$ alla (n-1)-sfera. Quindi, la somma degli indici è indipendente dal reale campo vettoriale, e dipende solo dalla varietà $M$. Tecnica: tagliare via tutti i punti critici del campo insieme a degli intorni piccoli. Quindi si utilizza il fatto che il grado di una mappa dalla frontiera di una varietà $n$-dimensionale a una (n-1)-sfera, che può essere estesa all'intera varietà $n$-dimensionale, è zero.

4. Infine, si riconosce che la somma degli indici è la caratteristica di Eulero. Per farlo, si costruisce uno specifico campo vettoriale su $M$ usando una triangolazione di $M$ grazie al quale è chiaro che la somma degli indici degli zeri è uguale alla caratteristica di Eulero della varietà.

Generalizzazioni

È possibile definire l'indice di un campo vettoriale anche per zeri non isolati. Una costruzione di tale indice e una generalizzazione del teorema di Poincaré–Hopf sono delineate nella Sezione 1.1.2 di (Brasselet, Seade & Suwa 2009).

Bibliografia

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Poincaré–Hopf theorem", Encyclopaedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
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Voci correlate

• Teorema della palla pelosa
• Caratteristica di Eulero
• Teorema di Stokes
• Fibrazione di Hopf