Corrente di spostamento

In fisica, la corrente di spostamento è una grandezza fisica che serve a rappresentare la variazione temporale del campo elettrico, introdotta per descrivere la formazione di un campo magnetico in presenza di un campo elettrico variabile nel tempo. Tale grandezza esprime a livello generale il fatto che campi elettrici variabili nel tempo generano campi magnetici, e permette di descrivere completamente il campo elettromagnetico attraverso le equazioni di Maxwell.

Definizione

Si consideri il vettore induzione elettrica, definito come:

$𝐃={\epsilon }_0𝐄+𝐏$

dove $𝐄$ è il campo elettrico e $𝐏$ la polarizzazione elettrica. La densità di corrente di spostamento è definita come la variazione nel tempo del vettore induzione elettrica:

${𝐉}_s=\frac{\partial 𝐃}{\partial t}$

o, equivalentemente:

${𝐉}_s={\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t}+\frac{\partial 𝐏}{\partial t}$

Dove l'ultimo termine al secondo membro è la densità di corrente di polarizzazione.

La corrente di spostamento che attraversa una data superficie $S$ è allora definita nella sua forma più generale come il flusso della densità di corrente di spostamento attraverso tale superficie:

$i_s=\underset{𝐒}{\int }{𝐉}_s\cdot \mathrm{d}𝐒$

Nel caso del vuoto, essendo la polarizzazione elettrica nulla, la corrente di spostamento assume la forma:

$i_s={\epsilon }_0\underset{𝐒}{\int }\frac{\partial 𝐄(t)}{\partial t}\cdot \mathrm{d}𝐒$

La contraddizione nel condensatore a facce piane

Rappresentazione schematica di un circuito con un condensatore piano attraversato da una corrente variabile $i(t)$. Se non si considera la corrente di spostamento, per la Legge di Caputo-Ampère la circuitazione di $𝐁$ lungo la frontiera di $S_1$ vale $i(t)$ mentre lungo la frontiera di $S_2$ vale 0, contraddicendo in questo modo l'equazione di continuità.

Si supponga di caricare un condensatore con una corrente $i(t)$. Se si applica la legge di Ampère, ovvero si calcola la circuitazione del campo magnetico lungo un cammino chiuso che delimita la superficie $S_1$, la quale racchiude una delle due armature, si ottiene che l'integrale di linea di $𝐁$ lungo la linea $l$ che racchiude $S_1$ fornisce:

${\oint }_l𝐁\cdot \mathrm{d}𝐥={\mu }_{0}i$

Se si calcola, invece, la circuitazione del campo magnetico lungo la linea chiusa che delimita una superficie $S_2$ posta all'interno del condensatore, ma tale da non contenere nessuna delle due armature al suo interno, essa è nulla. Tale risultato viola l'equazione di continuità per la corrente elettrica in circuiti interrotti da condensatori: si tratta di una contraddizione dovuta all'aver trascurato la corrente di spostamento tra le armature del condensatore, all'interno del quale è presente un campo elettrico variabile nel tempo $𝐄(t)$.

Il flusso del campo elettrico attraverso la superficie $S_2$ è:

$\mathrm{\Phi }(𝐄)=\underset{{𝐒}_{\mathrm{𝟐}}}{\int }𝐄\cdot \mathrm{d}{𝐒}_{\mathrm{𝟐}}$

dove il campo elettrico, nel caso di un condensatore piano, è:

$𝐄=\frac{\sigma }{{\epsilon }_0}𝐧$

in cui $\sigma$ è la densità superficiale di carica sulle armature.

Per il teorema del flusso si ha che:(è il teorema di Gauss applicato ad una superficie chiusa di cui fa parte S2, per esempio un cilindro o tronco di cono con basi S1 ed S2. Poiché il campo attraversa solo S2 si arriva all’equazione seguente))

$Q={\epsilon }_0\mathrm{\Phi }(𝐄)$

e derivando rispetto al tempo si ottiene la corrente di spostamento:

$i={\epsilon }_0\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{\Phi }(𝐄)={\epsilon }_0\underset{{𝐒}_{\mathrm{𝟐}}}{\int }\frac{\partial 𝐄(t)}{\partial t}\cdot \mathrm{d}𝐒$

Nonostante non sia costituita dal moto di cariche elettriche reali, tale corrente permette di soddisfare l'equazione di continuità, dal momento che il flusso della densità di corrente di spostamento è pari alla corrente che alimenta il condensatore.

Legge di Ampère-Maxwell

Template:Vedi anche Un campo elettrico variabile nel tempo è sperimentalmente sorgente di un campo magnetico, rendendo necessaria una estensione della legge di Ampère. Inserendo la prima legge di Maxwell nell'equazione di continuità si ottiene:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐉+\frac{\partial \rho }{\partial t}=\mathrm{\nabla }\cdot (𝐉+{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t})=0$

Come già visto, la densità di corrente di spostamento si annulla nel caso stazionario.

Inserendo la densità di corrente generalizzata nella legge di Ampère nel vuoto:

$\mathrm{\nabla }\mathbf{\times }𝐁={\mu }_0(𝐉+{\epsilon }_0\frac{\partial 𝐄}{\partial t})$

si ottiene la legge di Ampère-Maxwell nel vuoto..

Bibliografia

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Voci correlate

• Campo elettrico
• Campo elettromagnetico
• Campo magnetico
• Carica elettrica
• Condensatore (elettrotecnica)
• Corrente elettrica
• Densità di corrente
• Equazione di continuità
• Equazioni di Maxwell
• Legge di Ampère-Maxwell
• Polarizzazione elettrica
• Teorema del flusso

Collegamenti esterni

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