Distribuzione logaritmica

Template:Nota disambigua Template:Variabile casuale In teoria delle probabilità la distribuzione logaritmica (o della serie logaritmica) è una distribuzione di probabilità discreta sui numeri interi positivi che esprime lo sviluppo in serie di Taylor del logaritmo naturale,

$\log (1-x)=-(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+...)$.

La distribuzione venne descritta da Ronald Fisher in uno studio sulla genetica delle popolazioni.

Definizione

La distribuzione logaritmica di parametro $p\in ]0,1[$ attribuisce le probabilità

$P(n)=\frac{1}{-\log (1-p)}\frac{p^n}{n}=\frac{1}{\log \frac{1}{1-p}}\frac{p^n}{n}$ per $n>0$.

Siccome la serie di Taylor (o di Maclaurin) di $-\log (1-x)$ ha raggio di convergenza 1, la probabilità totale è 1.

La funzione di ripartizione è

$F(n)=1+\frac{{\mathrm{B}}_p(n+1,0)}{\log (1-p)}$,

dove ${\mathrm{B}}_p$ è la funzione Beta incompleta.

Caratteristiche

Una variabile aleatoria $X$ con distribuzione logaritmica di parametro $p$ ha

• momenti semplici

${\mu }_k=E[X^k]=\frac{1}{\log \frac{1}{1-p}}\sum _{n>0}{n}^{k-1}{p}^k$,

tramite i quali si possono esprimere

• la speranza matematica

$E[X]=\frac{1}{\log \frac{1}{1-p}}\frac{p}{1-p}$

• e la varianza

$\text{Var}(X)=E[X^2]-E[X{]}^2=\frac{1}{-(1-p{)}^2\log (1-p)}-(\frac{p}{-(1-p)\log (1-p)}{)}^2$.

La funzione generatrice dei momenti è

$g_X(t)=E[e^{tX}]=\frac{1}{-\log (1-p)}\sum _{n>0}\frac{(p{e}^t{)}^n}{n}=\frac{\log (1-p{e}^t)}{\log (1-p)}$.

Inoltre siccome la funzione $p^n/n$ è decrescente, $P(n)$ assume il valore massimo in 1, la moda.

Altre distribuzioni

Formula ricorsiva

La distribuzione logaritmica di parametro $p$ soddisfa la ricorsione di Panjer

$P(n)=(p+\frac{-p}{n})P(n-1)$ per $n>1$

ma è limitata al supporto $\mathbb{N}\setminus \{0\}$. (La distribuzione di Panjer con gli stessi parametri definisce una distribuzione degenere, con $P(1)=(p-p)P(0)=0$.)

Distribuzione composta di Poisson

Se la variabile aleatoria $N$ segue una distribuzione di Poisson allora la somma di $N$ variabili aleatorie indipendenti $X_1,...,X_N$ con una stessa distribuzione logaritmica,

$X_1+...+X_N$,

segue una distribuzione di Pascal (o binomiale negativa).

In altri termini, la distribuzione di Pascal è una distribuzione composta di Poisson della distribuzione logaritmica.

Voci correlate

• Distribuzione composta di Poisson
• Distribuzione di Panjer
• Logaritmo
• Serie di Taylor
• Sviluppo in serie

Collegamenti esterni

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