Polinomi di Jacobi

In matematica i polinomi di Jacobi costituiscono una sequenza polinomiale a due parametri e più precisamente costituiscono una successione di polinomi ortogonali a due parametri. Il loro nome ricorda il matematico tedesco Carl Jacobi (1804-1851).

Definizioni

Essi possono definirsi in molti modi equivalenti.

Mediante una serie ipergeometrica che in effetti si riduce a un polinomio:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(z):=\frac{(\alpha +1{)}^{\underset{\_}{n}}}{n!}{}_2{F}_1(-n,n+\lambda ,\alpha +1;\frac{1-z}{2}),$

dove $\underset{\_}{n}$ denota il fattoriale crescente e dove $\lambda :=\alpha +\beta +1$.

Mediante la variante della precedente:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(z):=\frac{(-1{)}^n(\beta +1{)}^{\underset{\_}{n}}}{n!}{}_2{F}_1(-n,n+\lambda ,\alpha +1;\frac{1+z}{2}).$

Mediante una formula alla Rodriguez:

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(z):=\frac{(-1{)}^n}{2^{n}n!}(1-z{)}^{-\alpha }(1+z{)}^{-\beta }\frac{d^n}{d{z}^n}[(1-z{)}^{\alpha +n}(1+z{)}^{\beta +n}].$

Mediante la espressione polinomiale esplicita

$P_n^{(\alpha ,\beta )}(z):=\frac{1}{2^n}\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\alpha }{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+\beta }{n-k})(z-1{)}^{n-k}(z+1{)}^k.$

Come soluzioni polinomiali dell'equazione differenziale di Jacobi.

Per $\alpha ,\beta >-1$ si possono definire come i componenti della successione di polinomi ortogonali nell'intervallo $[-1,1]$ rispetto alla funzione peso $(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }$. La corrispondente relazione di ortogonalità è

$\underset{-1}{\overset{1}{\int }}(1-x{)}^{\alpha }(1+x{)}^{\beta }{P}_m^{\alpha ,\beta }(x)P_n^{\alpha ,\beta }(x)dx=\{\begin{array}{cc}0,& \text{se }m\ne n,\\ \frac{2^{\lambda }\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)\mathrm{\Gamma }(n+\beta +1)}{(2n+\lambda )n!\mathrm{\Gamma }(n+\lambda )},& \text{se }m=n\ne 0,\\ \frac{2^{\lambda }\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)\mathrm{\Gamma }(\beta +1)}{\mathrm{\Gamma }(\lambda +1)},& \text{se }m=n=0.\end{array}$

Polinomi di Jacobi shiftati

Si tratta di varianti dei precedenti abbastanza modeste ma molto usate; sono definiti come

$R_n^{\alpha ,\beta }(z):=P_n^{(\alpha ,\beta )}(2z-1).$

Naturalmente anche questi costituiscono una successione di polinomi ortogonali e la relazione di ortogonalità è:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}dx(1-x{)}^{\alpha }{x}^{\beta }{R}_m^{\alpha ,\beta }(x)R_n^{\alpha ,\beta }(x)=\{\begin{array}{cc}0,& \text{se }m\ne n,\\ \frac{\mathrm{\Gamma }(n+\alpha +1)\mathrm{\Gamma }(n+\beta +1)}{(2n+\lambda )n!\mathrm{\Gamma }(n+\lambda )},& \text{se }m=n\ne 0,\\ \frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)\mathrm{\Gamma }(\beta +1)}{\mathrm{\Gamma }(\lambda +1)},& \text{se }m=n=0.\end{array}$

Collegamenti con altri polinomi speciali

Per $\alpha =\beta =0$ si riducono ai polinomi di Legendre.

Per $\alpha =\beta$ si riducono ai polinomi di Gegenbauer:

$C_n^{(\alpha +1/2)}(z)=\frac{(2\alpha +1{)}^{\underset{\_}{n}}}{}(\alpha +1)\underset{\_}{n}{P}_n^{(\alpha ,\beta )}(z).$

Per $\alpha =\beta =-1/2$ si riducono ai polinomi di Chebyshev di primo genere:

$T_n(z)=\frac{n!}{(1/2{)}^{\underset{\_}{n}}}{P}_n^{(-1/2,-1/2)}(z).$

Espressioni esplicite

I primi polinomi della successione graduale sono:

$P_0^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,$

$P_1^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{1}{2}[2(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2)(z-1)],$

$P_2^{(\alpha ,\beta )}(z)=\frac{1}{8}[4(\alpha +1)(\alpha +2)+4(\alpha +\beta +3)(\alpha +2)(z-1)+(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)(z-1{)}^2].$

Bibliografia

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun eds. (1972): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, ISBN 0486612724. Vedi anche chapter 22

Collegamenti esterni

• Jacobi Polynomials in MathWorld