Distribuzione lognormale

Template:F Template:Variabile casuale In teoria delle probabilità la distribuzione lognormale, o log-normale, è la distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria $X$ il cui logaritmo $\log X$ segue una distribuzione normale.

Questa distribuzione può approssimare il prodotto di molte variabili aleatorie positive indipendenti.

Viene utilizzata anche in matematica finanziaria.

Definizione

La variabile aleatoria $X=e^N$ segue la distribuzione lognormale $\log 𝒳(\mu ,{\sigma }^2)$se e solo se $N=\log X$ segue la distribuzione normale $𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$.

La sua funzione di densità di probabilità è

$f(x)=\frac{e^{-\frac{(\ln x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}}{x\sqrt{2\pi }\sigma }$ per $x>0$.

Caratteristiche

La funzione di ripartizione della distribuzione lognormale è

$F(x)={\mathrm{\Phi }}_{(\mu ,\sigma )}(\ln x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\text{erf}\left(\frac{\ln x-\mu }{\sqrt{2}\sigma }\right)$

dove ${\mathrm{\Phi }}_{(\mu ,\sigma )}$ è la funzione di ripartizione della distribuzione normale ed $\text{erf}$ è la funzione degli errori.

I momenti semplici della distribuzione possono essere dedotti dalla funzione generatrice dei momenti della distribuzione normale di $N=\log X$

${\mu }_n(X)=E[X^n]=E[e^{nN}]=g_N(n)=e^{n\mu +n^2\frac{{\sigma }^2}{2}}$.

In particolare si trovano

• la speranza matematica

$E[X]=e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}$

• e la varianza

$\text{Var}(X)=E[X^2]-E[X{]}^2=e^{2\mu }(e^{2{\sigma }^2}-e^{{\sigma }^2})=e^{2\mu +{\sigma }^2}(e^{{\sigma }^2}-1)$.

I parametri $(\mu ,{\sigma }^2)$ possono essere ricavati dalla speranza e dalla varianza, utilizzando la relazione $\frac{\text{Var}(X)}{E[X{]}^2}=e^{{\sigma }^2}-1$.

Gli indici di asimmetria e curtosi sono

${\gamma }_1=(e^{{\sigma }^2}+2)\sqrt{e^{{\sigma }^2}-1}$ e ${\gamma }_2=e^{4{\sigma }^2}+2e^{3{\sigma }^2}+3e^{2{\sigma }^2}-6$.

La moda della distribuzione è $e^{\mu -{\sigma }^2}$.

La mediana è $q_{1/2}=e^{\mu }$ e si trova immediatamente tramite la mediana $\mu$ di $N=\log X$: $\frac{1}{2}=P(N⩽\mu )=P(X=e^N⩽e^{\mu })$.

Proprietà

Se $X$ è una variabile aleatoria con distribuzione lognormale $\log 𝒩(e^{\mu +\frac{1}{2}{\sigma }^2},e^{2\mu +{\sigma }^2}(e^{{\sigma }^2}-1))$ allora

• $N=\log X$ segue la distribuzione normale $𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$.

Per ogni trasformazione lineare (invertibile)

• $aN+b$ segue ancora una distribuzione normale $𝒩(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$
• $e^{aN+b}=e^b{X}^a$ segue una distribuzione lognormale $\log 𝒩(a\mu +b,a^2{\sigma }^2)$.

In particolare seguono una distribuzione lognormale

• i multipli scalari $cX$,
• le potenze $X^a$
• e l'inverso $X^{-1}$ di $X$.

Per la definizione di distribuzione lognormale non è importante che venga scelto il logaritmo naturale, ovvero la base e: due distinti logaritmi ${\log }_{a}X$ e ${\log }_{b}X$ differiscono soltanto di un fattore $\frac{\log a}{\log b}$.

La distribuzione lognormale svolge un ruolo simile a quello della distribuzione normale, la quale può fornire un'approssimazione per la somma di "molte" variabili aleatorie indipendenti $X_1,...X_n$ aventi una stessa distribuzione (teorema del limite centrale). Se le $X_i$ sono positive allora la distribuzione lognormale può fornire un'approssimazione per il loro prodotto (così come la distribuzione normale può fornire un'approssimazione per la somma dei loro logaritmi, $\log (\prod _i{X}_i)=\sum _i\log (X_i$).

Voci correlate

• Distribuzione normale

Collegamenti esterni

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