Lemma di Yoneda

In matematica, il lemma di Yoneda è un risultato fondamentale nella teoria delle categorie. Nella sua forma più debole afferma che ogni categoria può essere considerata come una sottocategoria dei funtori contravarianti da essa alla categoria degli insiemi.

Definizioni

Sia $𝒞$ una categoria, e sia $𝐒𝐞𝐭$ la categoria degli insiemi. La categoria di prefasci su $𝒞$ a valori in $𝐒𝐞𝐭$ è la categoria $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({𝒞}^{op},𝐒𝐞𝐭)$ di funtori contravarianti da $𝒞$ agli insiemi. Dati due funtori $F,G\in \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({𝒞}^{op},𝐒𝐞𝐭)$ l'insieme di morfismi da $F$ a $G$ è l'insieme $\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(F,G)$ di trasformazioni naturali da $F$ a $G$.

Fissato un oggetto $A\in 𝒞$, di particolare rilievo è il funtore

$h_A:{𝒞}^{op}\to 𝐒𝐞𝐭$

che mappa un oggetto $X\in 𝒞$ all'insieme $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(X,A)$. Per ogni morfismo $f:X\to Y\in 𝒞$ il funtore $h_A$ associa un morfismo $h:X\to A$ al morfismo $g:Y\to A$ dato da $h=g\circ f$.

Enunciato

Il lemma di Yoneda asserisce il fatto seguente:

Vi è una corrispondenza biunivoca $\mathrm{N}\mathrm{a}\mathrm{t}(h_A,F)\cong F(A)$.

Un caso particolare è quello dove $F=h_Y$; in tal caso, il lemma di Yoneda afferma che la categoria $𝒞$ è una sottocategoria di $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({𝒞}^{op},𝐒𝐞𝐭)$ tramite il funtore $h:𝒞\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}({𝒞}^{op},𝐒𝐞𝐭)$.

Dimostrazione

La dimostrazione del lemma di Yoneda è contenuta nel seguente diagramma commutativo:

Proof of Yoneda's lemma