Trinomio notevole

Nel calcolo letterale, precisamente nelle scomposizione dei polinomi, il trinomio notevole è un polinomio che può essere espresso nella forma:

$a{x}^2+bx+c(\text{con }a,b,c\ne 0)$

e per il quale esiste un metodo noto per scomporlo come prodotto di due binomi di primo grado.

Metodo di scomposizione

Si possono distinguere i due casi in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia uguale o diverso da $1$.

Caso a = 1

Nel caso in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia uguale a $1$, il trinomio si presenta nella forma:

$x^2+bx+c$

in questo caso può essere scomposto nel prodotto di due binomi di primo grado nella forma:

$(x+u)(x+v)$,

dove $u$ e $v$ sono due termini con le seguenti due proprietà:

• $u+v=b$
• $u\cdot v=c$.

Eseguendo i conti infatti si ottiene:

$\begin{array}{cc}(x+u)(x+v)& =x^2+vx+ux+uv\\ & =x^2+x(v+u)+uv\\ & =x^2+bx+c\\ \end{array}$

Un metodo pratico per trovare $u$ e $v$ può essere quello di trovare le due radici del polinomio. Infatti se

$x^2+bx+c=0$,

allora:

$(x-u)(x-v)=0\Rightarrow \{\begin{array}{c}{x}_1=u\\ x_2=v\end{array}$

Per trovare le radici del trinomio notevole basta quindi utilizzare la formula risolutiva per le equazioni di secondo grado:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Caso a ≠ 1

Nel caso in cui il coefficiente del termine di secondo grado sia diverso da $1$ il polinomio si scompone nel modo seguente:

$a{x}^2+bx+c=a(x+u)(x+v)$,

dove $u$ e $v$ possiedono le seguenti proprietà:

• $u+v=\frac{b}{a}$
• $u\cdot v=\frac{c}{a}$.

Anche in questo caso la scomposizione può essere dimostrata nel modo seguente:

$\begin{array}{cc}a(x+u)(x+v)& =a{x}^2+avx+aux+auv\\ & =a{x}^2+ax(v+u)+auv\\ & =a{x}^2+bx+c\\ \end{array}$

Come nel caso precedente, $u$ e $v$ possono essere trovati cercando le radici del polinomio utilizzando la formula per le equazioni di secondo grado.

Trinomi di grado superiore a 2

Più in generale se consideriamo il trinomio:

$a{x}^h+b{x}^k+c\text{con }h=2k$

questo può essere scomposto utilizzando la sostituzione di variabili $x^k=t$ così da ottenere il trinomio:

$a{t}^2+bt+c$,

che può essere scomposto utilizzando i metodi descritti sopra e successivamente riapplicando al contrario la sostituzione.

Bibliografia

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