Trasformazione di Helmert

Informazioni teoriche

Per rototraslazione e variazione di scala nel piano intendiamo un cambiamento di coordinate cartesiane da un sistema di riferimento ad un altro con alterazione delle unità di misura e quindi di scala. Tutto ciò è possibile grazie ad una trasformazione lineare composta da una traslazione e da una rotazione, accompagnate da un fattore di riduzione o ingrandimento. Questo problema prende il nome di trasformazione di Helmert a sette parametri, ed è individuato dall'espressione:

${\overrightarrow{X}}^{\prime }=\lambda R\overrightarrow{X}+\overrightarrow{T}$

dove i parametri da determinare sono tre per la rotazione, tre per la traslazione ed uno per le unità di misura.

In particolare: R è la matrice di rotazione rispetto ai tre assi (matrice 3x3), $\overrightarrow{T}$ è il vettore di traslazione (3 componenti) e $\lambda$ è il fattore di scala, mentre $\overrightarrow{X}$ e ${\overrightarrow{X}}^{\prime }$ rappresentano rispettivamente le coordinate dei punti prima e dopo la trasformazione.

Per comodità consideriamo uno spazio di lavoro bidimensionale, quindi la matrice R sarà una 2x2 e dipenderà da un solo parametro, 𝛼, che individua l’angolo di rotazione e $\overrightarrow{T}$ diventerà un vettore a due componenti ($T_x$ e $T_y$). $R$ è della forma:

$R(\alpha )=\left(\begin{array}{cc}cos(\alpha )& -sin(\alpha )\\ sin(\alpha )& cos(\alpha )\end{array}\right)$

A questo punto si vuole stimare i valori dei parametri $\alpha$, $\lambda$, $T_x$, $T_y$ che governano la trasformazione tramite il metodo dei minimi quadrati. Prima è però necessario svolgere un processo di linearizzazione del sistema rispetto ai parametri $\alpha$ e $\lambda$, ponendo $a=\lambda \cos \alpha$, $b=\lambda \sin \alpha$ e $\frac{b}{a}=\tan \alpha$. Si ottiene:

$\lambda R(\alpha )=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$

Dunque, conoscendo le coordinate $\overrightarrow{X}$ e ${\overrightarrow{X}}^{\prime }$ di un certo numero di punti (più sono minore sarà l’errore) e utilizzando queste supposizioni/semplificazioni:

• le coordinate $\overrightarrow{X}$ note senza errori;
• le coordinate ${\overrightarrow{X}}^{\prime }$ incorrelate e con medesima varianza;
• utilizzo delle coordinate baricentriche;

la trasformazione diventa:

${\overrightarrow{X}}^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\overrightarrow{X}+\overrightarrow{T}$

Calcolo delle coordinate baricentriche

In prima battuta si calcolano le coordinate del baricentro dei punti nei due sistemi di riferimento:

${\overrightarrow{X}}_B=\frac{1}{N}\sum {\overrightarrow{x}}_p$ ${{\overrightarrow{X}}_B}^{\prime }=\frac{1}{N}\sum {{\overrightarrow{x}}_p}^{\prime }$

Successivamente si calcolano le coordinate baricentriche di tutti gli N punti relativamente al loro baricentro:

${\overrightarrow{W}}_p=\overrightarrow{X}p-{\overrightarrow{X}}_B$ ${{\overrightarrow{W}}_p}^{\prime }=\overrightarrow{X}{p}^{\prime }-{{\overrightarrow{X}}_B}^{\prime }$

Nuova forma per le trasformazione di Helmert

È possibile ora modificare la prima equazione mediante l’utilizzo delle coordinate baricentriche:

${{\overrightarrow{X}}_p}^{\prime }=\lambda R{\overrightarrow{X}}_p+\overrightarrow{T}⟶{{\overrightarrow{W}}_p}^{\prime }=\lambda R(\alpha ){\overrightarrow{W}}_p-{{\overrightarrow{X}}_B}^{\prime }+\overrightarrow{T}+\lambda R(\alpha ){\overrightarrow{X}}_B$

la quale, ponendo ${\overrightarrow{T}}_0=-{{\overrightarrow{X}}_B}^{\prime }+\overrightarrow{T}+\lambda R(\alpha ){\overrightarrow{X}}_B$ risulta:

${{\overrightarrow{W}}_p}^{\prime }=\lambda R(\alpha ){\overrightarrow{W}}_p+{\overrightarrow{T}}_0$

A questo punto il problema può essere ricondotto ad un’equazione matriciale del tipo:

$\overrightarrow{y}=A\overrightarrow{x}$

Esplicitando per ogni punto e ricordando il precedente cambio di variabile otteniamo:

$\{\begin{array}{c}{\overrightarrow{W}}_{p^{\prime }x}={\overrightarrow{W}}_{px}a-{\overrightarrow{W}}_{py}b+{\overrightarrow{T}}_{0x}\\ {\overrightarrow{W}}_{p^{\prime }y}={\overrightarrow{W}}_{py}a+{\overrightarrow{W}}_{px}b+{\overrightarrow{T}}_{0y}\end{array}$

ovvero:

$\left(\begin{array}{c}{\overrightarrow{W}}_{1^{\prime }x}\\ {\overrightarrow{W}}_{1^{\prime }y}\\ ...\\ {\overrightarrow{W}}_{p^{\prime }x}\\ {\overrightarrow{W}}_{p^{\prime }y}\\ ...\\ {\overrightarrow{W}}_{N^{\prime }x}\\ {\overrightarrow{W}}_{N^{\prime }y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{\overrightarrow{W}}_{1x}& -{\overrightarrow{W}}_{1y}& 1& 0\\ {\overrightarrow{W}}_{1y}& {\overrightarrow{W}}_{1x}& 0& 1\\ ...\\ {\overrightarrow{W}}_{px}& -{\overrightarrow{W}}_{py}& 1& 0\\ {\overrightarrow{W}}_{py}& {\overrightarrow{W}}_{px}& 0& 1\\ ...\\ {\overrightarrow{W}}_{Nx}& -{\overrightarrow{W}}_{Ny}& 1& 0\\ {\overrightarrow{W}}_{1y}& {\overrightarrow{W}}_{1x}& 0& 1\end{array}\right)$$*\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ {\overrightarrow{T}}_{0x}\\ {\overrightarrow{T}}_{0y}\end{array}\right)$

dove $\overrightarrow{y}$ rappresenta il vettore contenente i termini noti, $A$ la matrice dei coefficienti e $\overrightarrow{x}$ il vettore dei parametri da stimare.

Stima dei parametri

Per la risoluzione del sistema è conveniente normalizzarlo, moltiplicando ambo i membri per la trasposta di $A$ ($A^T$) :

$A^{T}A\overrightarrow{x}=A^T\overrightarrow{y}$

Allora, definendo con $N=A^{T}A$ la matrice normale, i prodotti $A^{T}A$ e $A^T\overrightarrow{y}$ risultano essere:

$N=A^{T}A=\left(\begin{array}{cccc}d& 0& 0& 0\\ 0& d& 0& 0\\ 0& 0& N& 0\\ 0& 0& 0& N\end{array}\right)$ $A^T\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}p\\ q\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

con :

$d=\sum _{p=1}^N(W_{px}^2+W_{py}^2)$

$p=\sum _{p=1}^N(W_{px}{W}_{p^{\prime }x}+W_{py}{W}_{p^{\prime }y})$

$p=\sum _{p=1}^N(W_{py}{W}_{p^{\prime }x}-W_{px}{W}_{p^{\prime }y})$

La matrice normale è diagonale in quanto le coordinate baricentriche hanno media nulla; le componenti ${\overrightarrow{T}}_{0x}$ e ${\overrightarrow{T}}_{0y}$ sono pari a zero per il medesimo motivo.

Per la stima dei parametri non ci resta che determinare il sistema. Si ottengono le seguenti relazioni:

$\hat{a}=\frac{p}{q}$ $\hat{b}=\frac{q}{d}$ ${\overrightarrow{T}}_{0x}=0$ ${\overrightarrow{T}}_{0x}=0$

Grazie a queste è possibile stimare i parametri $\alpha$ e $\lambda$ :

$\hat{\lambda }=\sqrt{{\hat{a}}^2+{\hat{b}}^2}$ $\hat{\alpha }=\arctan \frac{\hat{a}}{\hat{b}}$

mentre una stima del vettore traslazione è $\overrightarrow{T}={{\overrightarrow{X}}_B}^{\prime }-\lambda R{\overrightarrow{X}}_B$

Calcolo degli scarti e delle varianza

Definiamo gli scarti come differenza tra il valore reale e quello stimato:

$\overrightarrow{\nu }=\overrightarrow{y}-A\overrightarrow{\hat{x}}$

Per calcolare la varianza a posteriori si usa la formula:

$\widehat{{\sigma }_0^2}=\frac{{\nu }^T\nu }{r}$

con r = (numero di misure) - (numero parametri).