Trasformata di Park

La trasformata di Park è una trasformazione di variabili applicabile a un sistema elettrico trifase in regime qualsiasi (anche transitorio). Essa associa a una terna di grandezze (come ad esempio tensione o corrente) un'altra terna, ai fini di evidenziare il comportamento del sistema utilizzando un differente sistema di riferimento. È stata inizialmente proposta da Robert H. Park, da cui il nome.

Definizione

Utilizzando una notazione matriciale, si può definire la trasformazione attraverso la matrice:

$K_P=\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\theta \right)& \sin \left(\theta \right)& 0\\ -\sin \left(\theta \right)& \cos \left(\theta \right)& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

Dove θ è detto angolo di Park.

Per effettuare la trasformazione, detti $u_{DQZ}$ il vettore delle grandezze nel riferimento di Park e $u_{XYZ}$ il vettore nel riferimento reale

$u_{DQZ}=K_P\cdot u_{XYZ}$.

Analogamente, si definisce la trasformazione inversa

$u_{XYZ}=K_P^{-1}\cdot u_{DQZ}$.

Si consideri la trasformata di Clarke, definita come:

$K_C=\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot \left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ 0& \frac{\sqrt{3}}{2}& -\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$.

Combinando le due precedenti trasformate

$K_{CP}=K_P\cdot K_C$

Otteniamo la trasformazione di asse diretto-quadratura-omopolare:

$K_{CP}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\theta \right)& \cos (\theta -\frac{2\pi }{3})& \cos (\theta +\frac{2\pi }{3})\\ -\sin \left(\theta \right)& -\sin (\theta -\frac{2\pi }{3})& -\sin (\theta +\frac{2\pi }{3})\\ \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$

E la trasformazione inversa:

$K_{CP}^{-1}=\sqrt{\frac{2}{3}}\left[\begin{array}{ccc}\cos \left(\theta \right)& -\sin \left(\theta \right)& \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos (\theta -\frac{2\pi }{3})& -\sin (\theta -\frac{2\pi }{3})& \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \cos (\theta +\frac{2\pi }{3})& -\sin (\theta +\frac{2\pi }{3})& \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$

Riferimento di trasformata

La scelta dell'angolo θ definisce il riferimento di trasformata. Scelte comuni possono essere:

• $\theta =costante$: trasformazione su assi fissi

• $\omega =\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}={\omega }_e$ (detta ${\omega }_e$ la pulsazione del sistema di riferimento): trasformazione con riferimento sincrono

• $\omega =\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}={\omega }_e$ e $\theta ={\theta }_e$ ( detti ${\omega }_e$ e ${\theta }_e$la pulsazione e l'angolo del sistema di riferimento) : trasformazione con riferimento sincrono orientato

Utilizzi

La trasformazione di Park viene utilizzata per semplificare le equazioni che modellano il comportamento di vari apparecchi elettrici, fra cui:

• Macchina a induzione
• Macchina sincrona
• Inverter

In particolare, molti schemi di controllo della velocità o della coppia erogata dalle macchine asincrona e sincrona implementano la trasformata di Park nelle loro equazioni. Allo stesso modo, la trasformata di Park viene impiegata nel sistema di controllo della potenza attiva e reattiva erogata dagli inverter connessi alla rete elettrica.

Bibliografia

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