Topologie operatoriali debole e forte

In matematica, in particolare in analisi funzionale, le topologie operatoriali debole e forte sono due topologie operatoriali sull'insieme $ℒ(X,Y)$ degli operatori limitati tra due spazi di Hilbert $(X,⟨\cdot ,\cdot {⟩}_X)$ e $(Y,⟨\cdot ,\cdot {⟩}_Y)$. Come suggerito dal nome, la topologia operatoriale debole è più debole della topologia operatoriale forte.

Definizioni

Topologia operatoriale debole

La topologia operatoriale debole è la topologia più debole su $ℒ(X,Y)$ tale che il funzionale che manda un operatore limitato $T\in ℒ(X,Y)$ in $\ell (Tx)$ risulti continuo per ogni $x\in X$ e $\ell \in Y^{*}$, dove $Y^{*}$ denota lo spazio duale $Y$. Per il teorema di rappresentazione di Riesz, una base di intorni di un operatore limitato $T$ è data dalla famiglia di insiemi

$\{V:X\to Y\text{ operatore limitato}\mid |⟨V(x)-T(x),y{⟩}_Y|<\epsilon \mathrm{\forall }(x,y)\in S\}$

al variare di $\epsilon \in {ℝ}_{>0}$ e di $S\subset X\times Y$ di cardinalità finita.

La topologia operatoriale debole non va confusa con la topologia debole per spazi di Banach su $ℒ(X,Y)$. Questa infatti è la topologia più debole che rende continui tutti i funzionali lineari limitati su $ℒ(X,Y)$, non solo quelli della forma $T\mapsto \ell (Tx)$.

Topologia operatoriale forte

La topologia operatoriale forte è la topologia più debole su $ℒ(X,Y)$ tale che il funzionale che manda un operatore limitato $T:X\to Y$ in $Tx$ risulti continuo per ogni $x\in X$. Una base di intorni di un operatore limitato $T$ è data dalla famiglia di insiemi

$\{V:X\to Y\text{ operatore limitato}\mid \Vert V(x)-T(x){\Vert }_Y<\epsilon \mathrm{\forall }x\in S\}$

al variare di $\epsilon \in {ℝ}_{>0}$ e di $S\subset X$ di cardinalità finita.

Bibliografia

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