Test di Miller-Rabin

Il test di primalità di Miller-Rabin è un test di primalità, ossia un algoritmo per determinare se un numero intero è primo. La sua versione originale, dovuta a Gary Miller, è deterministica, ma dipende dall'ipotesi di Riemann generalizzata, un'importante congettura matematica tuttora aperta. L'algoritmo è stato successivamente modificato da Michael Rabin che ne ha ottenuto una versione probabilistica simile al test di Fermat e al test di Solovay-Strassen.

Definizione

Sia $n$ un numero intero positivo non primo (quindi dispari). I numeri positivi $b<n$ tali che $\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{D}(b,n)=1$ e tali che $n$ sia uno pseudoprimo di Eulero forte in base $b$ sono non più di un quarto di tutti i numeri positivi $b<n$ tali che $\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{D}(b,n)=1.$

Questo è il test di primalità che stavamo presentando:

Fissato un intero dispari $n>1,$ lo possiamo scrivere come $n=2^{s}t+1$, con $s\ge 0$ e $t$ dispari. Il test $T_1$ si sintetizza nei seguenti:

1. scegliamo a caso un intero $b_1,$ con $1<b_1<n,$ e calcoliamo $\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{D}(b_1,n);$
2. se $\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{D}(b_1,n)>1,$ allora $n$ non è primo, ed abbiamo finito;
3. se $\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{D}(b_1,n)=1,$ calcoliamo $b_1^t(\mathrm{mod}n).$ Se $b_1^t\equiv \pm 1(\mathrm{mod}n),$ allora $n$ è primo oppure è pseudoprimo forte in base $b_1$;
4. se non vale che $b_1^t\equiv \pm 1(\mathrm{mod}n),$ calcoliamo $b_1^{2t}(\mathrm{mod}n).$ Se $b_1^{2t}\equiv -1(\mathrm{mod}n),$ allora $n$ è pseudoprimo forte in base $b_1$;
5. se non vale che $b_1^{2t}\equiv -1(\mathrm{mod}n),$ passiamo a $b_1^{4t}$ e a tutte le altre potenze di 2 moltiplicate per $t.$ Se tutti i $b_1^{2^{r}t}$, per $r=1,\dots ,s-1,$ non sono mai congrui a $-1$ modulo $n,$ allora $n$ non è un primo. Altrimenti $n$ è uno pseudoprimo forte in base $b_1$.

Per tutti gli altri test $T_m,$ per $m$ intero positivo, la definizione è analoga:

1. scegliamo a caso un intero $b_m$, con $1<b_m<n$, e calcoliamo $\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{D}(b_m,n)$;
2. se $\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{D}(b_m,n)>1,$ allora $n$ non è primo, ed abbiamo finito;
3. se $\mathrm{M}\mathrm{C}\mathrm{D}(b_m,n)=1,$ calcoliamo $b_m^t(\mathrm{mod}n)$ e procediamo come nel primo test. In questo modo troviamo che $n$ non è primo, oppure che $n$ è pseudoprimo forte in base $b_m$.

Considerazioni finali sul test

Si può subito notare che, a differenza dei test di Fermat e test di Wilson, qui i calcoli sono minori in numero e molto più semplici, e si può dimostrare che il livello di complessità computazionale è polinomiale, mentre gli altri due presentano una difficoltà computazionale esponenziale. Per quanto riguarda l'affidabilità, anch'essa è molto buona in questo test. Infatti, nonostante sia un test probabilistico, quando effettuiamo il test $T_m$, sappiamo che la probabilità che n non sia primo e sia uno pseudoprimo forte in base $b_m$ è minore di 1/4, e, quindi, la probabilità che $n$ non sia primo ma passi i test $T_1$, $T_2$, ..., $T_m$ è minore di $\frac{1}{4^m}$, ossia piccolissima rispetto a quella del test di Fermat.

Assumendo l'ipotesi di Riemann generalizzata, il test di Miller-Rabin si può facilmente modificare in modo da diventare un vero test di primalità e l'algoritmo ad esso associato avrebbe costo $O((\log n{)}^4\log \log \log n)$.

Voci correlate

• Numero primo
• Pseudoprimo
• Test di Fermat
• Test di Lucas-Lehmer
• Test di Wilson

Collegamenti esterni

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