Test di Jarque-Bera

Il test di Jarque-Bera è un test statistico per la verifica dell'ipotesi di normalità ed è impiegato molto spesso in campo econometrico. Esso si basa sulla misura dell'asimmetria e della curtosi di una distribuzione.

Si considera in particolare la distribuzione asintotica di una combinazione dei noti coefficienti ${\beta }_3$ e ${\beta }_4$ (o ${\gamma }_3$ e ${\gamma }_4$) che è di tipo chi-quadro

La variabile testata è

$𝐽𝐵=\frac{n}{6}(S^2+\frac{(K-3{)}^2}{4}),$

dove n è il numero delle osservazioni, o gradi di libertà,S è l'asimmetria del campione, K è la curtosi del campione definiti come

$S=\frac{{\mu }_3}{{\sigma }^3}=\frac{{\mu }_3}{{\left({\sigma }^2\right)}^{3/2}}=\frac{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x-\overline{x})}^3}{{\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x-\overline{x})}^2\right)}^{3/2}}$

$K=\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}=\frac{{\mu }_4}{{\left({\sigma }^2\right)}^2}=\frac{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x-\overline{x})}^4}{{\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{(x-\overline{x})}^2\right)}^2}$

dove μ₃ e μ₄ sono il terzo e quarto momento centrale, $\overline{x}$ è la media campionaria e σ² è la varianza.

La statistica JB è distribuita asintoticamente come una variabile casuale chi quadro con due gradi di libertà e può essere usata per testare l'ipotesi nulla che il campione è stato estratto da una popolazione di dati distribuiti come una variabile casuale normale.

L'ipotesi nulla è un'ipotesi congiunta che sia asimmetria che curtosi in eccesso siano nulle. Tale ipotesi viene rigettata per valori di JB troppo grandi.

Questo test è utilizzato frequentemente per determinare se i residui di una regressione lineare sono normali. Certi autori propongono di correggere JB con il numero di variabili usate nella regressione, mentre altri non lo menzionano affatto.

Bibliografia

• Bera, Anil K.; Carlos M. Jarque (1980). "Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals". Economics Letters 6 (3): 255–259.
• Bera, Anil K.; Carlos M. Jarque (1981). "Efficient tests for normality, homoscedasticity and serial independence of regression residuals: Monte Carlo evidence". Economics Letters 7 (4): 313–318.
• Jarque, C. M. & Bera, A. K. [1987], A test for normality of observations and regression residuals, International Statistical Review 55, 163–172.

Voci correlate

• Carlos M. Jarque
• Anil K. Bera
• Test di Shapiro-Wilk, altro test per la verifica di normalità
• Test di Kolmogorov-Smirnov, test non parametrico per confrontare due distribuzioni
• Test di Breusch-Pagan, per la verifica di omoschedasticità in econometria