Teoremi newtoniani

Template:F Template:C Template:U In matematica, i teoremi newtoniani (o formule newtoniane o formule di Newton-Girard) sono delle formule che permettono di calcolare, note le funzioni simmetriche elementari di $n$ variabili, la sommatoria delle potenze $k$-esime delle stesse. Consideriamo l'equazione

$p(x)=x^n+a_1{x}^{n-1}+a_2{x}^{n-2}+\dots +a_{n-1}x+a_n$

e siano $x_1,x_2,\dots ,x_n$le sue radici. Introduciamo la somma delle potenze $k$-esime delle radici di $p(x)=0$

$s_k=\sum _{i=1}^n{x_i}^k(1)$

Pertanto possiamo scrivere

$p(x)=(x-x_1)(x-x_2)\dots (x-x_{n-1})(x-x_n)$

ed osservare che

$p^{\prime }(x)=\frac{p(x)}{x-x_1}+\frac{p(x)}{x-x_2}+\dots +\frac{p(x)}{x-x_n}$

Ora i quozienti che compaiono a destra di questa equazione possono essere determinati grazie al principio di identità dei polinomi per cui, ad esempio

$\frac{p(x)}{x-x_1}=x^{n-1}+(x_1+a_1)x^{n-2}+({x_1}^2+a_1{x}_1+a_2)x^{n-3}+\dots +({x_1}^k+a_1{x_1}^{k-1}+a_2{x_1}^{k-2}+\dots +a_k)x^{n-k-1}+\dots$

Trovati similmente tutti gli altri quozienti e dopo aver sommato i risultati, si ottiene, impiegando le formule (1):

$p^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}+(s_1+n{a}_1)x^{n-2}+(s_2+s_1{a}_1+n{a}_2)x^{n-3}+\dots +(s_k+a_1{s}_{k-1}+a_2{s}_{k-2}+\dots +n{a}_k)x^{n-k-1}+\dots$

D'altra parte, se deriviamo partendo dall'equazione originaria, otteniamo

$p^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}+(n-1)a_1{x}^{n-2}+(n-2)a_2{x}^{n-3}+\dots +a_{n-1}$

ed uguagliando le potenze ad egual esponente di x nelle due espressioni di $p^{\prime }(x)$ otteniamo

$s_1=-a_1$

$s_2=-a_1{s}_1-2a_2={a_1}^2-2a_2$

e, per $k<n$

$s_k+a_1{s}_{k-1}+a_2{s}_{k-2}+\dots +a_n{s}_{n-k}+\dots +k{a}_k=0$

che, ricorsivamente, si può risolvere esprimendo $s_k$ in funzione dei coefficienti e delle somme precedentemente calcolate.

I casi in cui $k>n$ o $k<0$ possono essere trattati con opportuni artifici.

Voci correlate

• Polinomio simmetrico
• Identità di Newton